热点7-1 直线与圆综合
1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
满分技巧1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【例1】（2022·全国·模拟预测）
1．“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）
2．设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）
3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）
4．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）
5．已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线方程及过定点问题】
满分技巧1、求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）
6．对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为
D．直线经过第二象限
【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）
7．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）
8．已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）
9．已知的三个顶点分别为.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)已知平行四边形，求点的坐标.
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）
10．已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．过定点过定点
B．点的轨迹方程为
C．点到点和点距离之和的最大值为
D．设，则的最大值为
【题型3 直线的平行与垂直问题】
满分技巧1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0），l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0）l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠（A2B2C2≠0）l1与l2相交的充分条件≠（A2B2≠0）l1与l2重合的充分条件＝＝（A2B2C2≠0）
2、平行垂直直线一般方程的设法：（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为
【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）
11．“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）
12．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）
13．已知直线，，则（ ）
A．直线m恒过点 B．若，则
C．若m⊥n，则 D．当时，直线n不经过第三象限
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）
14．过点且与直线平行的直线方程为 .
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）
15．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 直线的距离问题及应用】
满分技巧点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）
16．点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）
17．圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）
18．已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
19．若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）
20．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 直线的对称问题及应用】
满分技巧1、点关于点：点P（x，y）关于点Q（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点A′（m，n），则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【例5】（2022·全国·高三专题练习）
21．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）
22．直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）
23．直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）
24．与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）
25．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
满分技巧求圆的方程的方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）
26．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）
27．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）
28．若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）
29．若圆关于直线对称，则 ．
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）
30．在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
满分技巧1、求过一点（x0，y0）的圆的切线方程的方法 （1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； （2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证 2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）
31．过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）
32．设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）
33．已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）
34．已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）
35．已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
满分技巧1、直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为： （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为：
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）
36．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）
37．过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）
38．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）
39．过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）
40．已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
(2)当时，求直线的方程.
【题型9 两圆的公共弦问题】
满分技巧两圆公共弦所在直线方程 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程.
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）
41．已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）
42．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）
43．已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）
44．过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）
45．设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【题型10 两圆的公切线问题】
满分技巧两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程.
【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）
46．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）
47．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）
48．在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）
49．圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）
50．圆与圆的公切线长为 .
（建议用时：60分钟）
（2024·浙江·校联考一模）
51．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）
52．已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
（2024·河北·高三校联考阶段练习）
53．已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）
54．已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·山东滨州·高三统考期末）
55．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海静安·统考二模）
56．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·山东青岛·高三统考期末）
57．圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
（2023·江苏苏州·高三统考期中）
58．圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）
59．已知是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若， B．若，直线的方程为
C．直线经过一个定点 D．弦的中点在一个定圆上
（2024·云南昆明·统考一模）
60．已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则（ ）
A．直线的斜率为1 B．四边形的面积为
C． D．
（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）
61．已知直线：与直线：，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则或或 B．若，则或
C．直线和直线均与圆相切 D．直线和直线的斜率一定都存在
（2024·江苏·高三统考期末）
62．已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
（2024·河南周口·高三统考阶段练习）
63．已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ．
（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）
64．设直线的方程为.
(1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P；
(2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长；
(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
（2024·山东济宁·高三校考开学考试）
65．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
（2023·辽宁大连·高三校联考期中）
66．已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
(1)求圆M的方程；
(2)若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】直接根据直线倾斜角和斜率的关系进行判断.
【详解】若直线的斜率不小于，则该直线的倾斜角为锐角或，
∴“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的充分不必要条件.
故选：A.
2．A
【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A
3．D
【分析】由题意得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
当时，取，则，
但，即充分性不成立；
当时，取，则，
但，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．C
【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
【详解】函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C
5．AB
【分析】根据题意，画出图象，结合斜率公式，即可求解.
【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示．
当直线l与线段相交时，或，
所以斜率k的取值范围是或斜率不存在，
结合选项，选项A、B符合题意．
故选：AB．
6．C
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.
故选：C.
7．B
【分析】由方向向量得斜率，由点斜式化为一般式即可.
【详解】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为，
又它经过点，所以直线的方程为，即.
故选：B.
8．C
【分析】令得点坐标,再根据和斜率公式,得直线的斜率,结合点斜式求解即可.
【详解】直线与轴相交于点,令得
由题知且直线的斜率得
易知点在直线上,根据点斜式得即.
故选：C.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设线段的中点，且，
则边的垂直平分线的斜率，
由直线的点斜式可得，
化简可得.
（2）由四边形为平行四边形，且，
则，又，则.
10．BD
【分析】由直线方程确定定点坐标，根据直线平行的判定易得，即可确定的轨迹为圆并写出轨迹方程，结合基本不等式、圆的性质判断各项正误.
【详解】由，即过定点，，即过定点，A错；
由，即，所以的轨迹是以为直径的圆，
所以圆心为，半径为，即轨迹方程为，B对；
如下图，设，则，故，
当且仅当时等号成立，故到点和点距离之和的最大值为，C错；
由图知：当直线与圆相切时，最大，此时，
所以且最大，D对.
故选：BD
11．C
【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，
故选：C
12．C
【分析】由题意可得出，再由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为直线和垂直，
所以，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等.
故选：C.
13．BD
【分析】变形后得到，得到直线m恒过点；B选项，根据平行得到方程，求出答案；C选项，根据垂直关系得到方程，求出；D选项，分，和三种情况，得到答案.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，故直线m恒过点，A错误；
B选项，，故且，解得，B正确；
C选项，m⊥n，故，解得，C错误；
D选项，当时，，不经过第三象限，
当时，，不经过第三象限，
若时，变形为，
其中，，
故经过第一，二，四象限，不经过第三象限，
综上，当时，直线n不经过第三象限，D正确.
故选：BD
14．
【分析】根据题意设所求直线为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程
【详解】设所求直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
故所求直线方程为.
故答案为：
15．C
【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线方程是，
即.
故选：C.
16．A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式求解.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，
则点到双曲线的渐近线的距离为.
故选：A
17．C
【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较即可求解.
【详解】由题意知，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
当，此时圆上有个点满足，
当，此时圆上有个点满足，
所以圆上到直线距离为的点的个数为.故C正确.
故选：C.
18．
【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.
【详解】由，得，得，
所以：，即，又：，
所以与间的距离.
故答案为：
19．C
【分析】根据直线垂直求出，再由平行线间距离公式求解.
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得.
故选：C.
20．A
【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值.
【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.
故选：A
21．.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
22．B
【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程.
【详解】由题意，
在直线中，作出图象如下图所示，
由图可知，点关于直线对称的点为,
直线与直线的交点为,
∴关于直线对称的直线方程为：，即，
∴关于直线对称的直线方程是：.
故选：B.
23．C
【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可；
【详解】设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，即.
故选：C.
24．B
【分析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，将其代入中化简可得答案.
【详解】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，
由题意可得点在直线上，
所以，即，
所以与直线关于轴对称的直线的方程为，
故选：B
25．C
【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.
【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，
由轴对称性质得，，，
解得，，故，
即与重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为.
故选：C
26．A
【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可.
【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．
故选：A
27．A
【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【详解】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
28．BC
【分析】由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围.
【详解】由题设，在圆外，
则，解得.
故选：BC
29．
【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值.
【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上，
则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意.
故答案为：.
30．B
【分析】根据题意几何条件分别求出、D坐标，然后求出圆心坐标及半径，从而求解.
【详解】设，则．
又因为，解得（负值舍去），
因此圆心，圆的方程为，
即，故B正确.
故选:B．
31．B
【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.
【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．
故选：B．
32．（或）
【分析】先求出两直线交点坐标，结合图象易得过点的圆的切线有两条，分别为：或.
【详解】
如图，由题意知，圆，联立，解得，
即点，过点作圆的切线，其切线方程为或．
故答案为：（或）．
33．A
【分析】首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【详解】由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以，
解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
故选：A
34．D
【分析】由题意可得该圆圆心，半径，借助切线定义可得
【详解】，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为M，N，
，则，
则，故，
故为钝角，则.
故选：D.
35．B
【分析】四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，PC最小时四边形面积最小，当垂直于直线时，利用点到直线距离和勾股定理即可求解，从而得到四边形PACB的面积的最小值.
【详解】
圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3；
由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，，
显然PC最小时四边形面积最小，
即，所以
所以四边形PACB的面积的最小值为，
故选：B.
36．C
【分析】求出直线所过定点，当⊥时，最小，根据垂径定理求出最小值.
【详解】变形为，故直线过定点，
的圆心为，半径为3，
则当⊥时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
37．A
【分析】根据题意，可以求出切线长，根据圆的对称性加以计算，可以得到线段的长.
【详解】
如图，由题意知，，，，
所以，根据圆的对称性易知，
则，解得．
故选：A．
38．C
【分析】确定圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
弦的长度为，故圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，所以，
故选：C．
39．C
【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程.
【详解】圆C：的圆心为，
设，则以为直径的圆的方程为
与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为
因为直线PQ过点，所以，解得．
所以直线PQ的方程为，即．
故选：C．
40．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由直线垂直求出方程，代入圆心坐标即可得证；
（2）分直线斜率是否存在讨论，结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解.
【详解】（1）由已知，故，所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心.
（2）因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为，
当直线与轴垂直时，易知符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以直线的方程为，即；
综上：直线的方程为或.
41．B
【分析】判断两圆位置关系，两圆方程作差即可得公共线方程.
【详解】由，则，；
由，则，；
所以，两圆相交，
将两圆作差得，所以公共线方程.
故选：B
42．A
【分析】设，由距离公式化简整理可得点M的轨迹，两圆相减得公共弦直线方程，利用几何关系即可求出弦长.
【详解】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，
可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①，
设动点，由，从而有，
化简得：，即②，
由可得相交弦的方程为：，圆心到距离，
所以公共弦长为.
故选:A.
43．C
【分析】利用直线与直线、直线与圆的位置关系即得答案.
【详解】因为以为直径的圆的方程为，
又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，
由，可得，即得直线AB的方程为.
故选：C.
44．A
【分析】首先求以为直径的圆的方程，再让两圆相减得到直线的方程，即可求解直线所过的定点.
【详解】以为直径的圆的方程为，
即，圆，
两圆方程相减就是直线的方程，即可，
整理为，
联立，得，
所以直线恒过定点.
故选：A
45．C
【分析】利用两圆的位置关系计算公共弦及其弦长，结合点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由题意可知：，
因为圆：和圆：交于A，B两点，
所以直线AB的方程为，
所以到直线AB的距离，
所以，
又，
所以．
故选：C．
46．B
【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数.
【详解】由可知圆心为，半径，
由，即，
则圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，，，
故，即两圆相交，故公切线条数为2条.
故选：B.
47．D
【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可.
【详解】由题意知：，
所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，
对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，
即直线不可能是两圆的公切线；
故选：D.
48．C
【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
49．A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
50．4
【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长.
【详解】由题可得，由圆，
则圆心为，半径为，
由圆，
则圆的圆心为，半径为.
则两圆心的距离，
因为，所以圆与圆相交.
如图，设切点为，作于点，
所以圆与圆的公切线长为.
故答案为：.
51．A
【分析】将一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】圆，即，
它的圆心坐标和半径分别为.
故选：A.
52．A
【分析】根据平行得到方程，求出或，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，两直线都为，两直线重合，舍去；
当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求；
故选：A
53．B
【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，
故选：B
54．C
【分析】结合图形，先判断出切线与原点与圆心连线的夹角为，进而得到两点恰为切点，再应用点到线的距离即可求解.
【详解】设是圆的圆心，，
由题意可知，圆与轴相切于D点，则，
又，所以，又是正三角形，
则两点恰为切点
设点与点重合，
由题意可知，，且，所以，
不妨设线段AB中点为H，则，
设直线AB：，即，
则，
则或，
结合图形知时与圆没有交点，故舍去，
则，所以直线AB的方程为.
故选：C
55．B
【分析】过定点，当与垂直时，最小，由垂径定理得到最小值.
【详解】变形为，
圆心为，半径为4，
过定点，当与垂直时，最小，
由垂径定理得，最小值为.
故选：B
56．A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
57．D
【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得.
【详解】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，
所以.
故选：D
58．A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得两圆的圆心及半径，再求圆心距及半径之间的关系即可求得公切线的个数.
【详解】圆化成标准方程为，知
圆化成标准方程为，知
圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.
故选：A
59．BCD
【分析】利用，可得判断A；在以为直径的圆上，可得公共弦AB所在直线的方程判断B；设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到公共弦方程，判断C；根据圆的定义判断D.
【详解】
由可得圆心，半径，依题意，
又，所以，故A错误；
根据题意可得共圆，所以在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆为，即，
与圆相减可得公共弦AB所在直线的方程为，故B正确；
设，则，所以以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；
记弦的中点为，可得，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确.
故选：BCD.
60．AC
【分析】由题意分析得，结合，即可判断A，求出，结合三角函数即可判断D，算出即可得四边形的面积，由此即可判断B，结合等面积法即可判断C.
【详解】
若要最大，则只需锐角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，则，由垂径分线定理有，所以，所以，故A正确；
由题意，此时，，
所以此时，故D错误；
而当时，，所以四边形的面积为，故B错误；
由等面积法有四边形的面积为，又由题意，所以，故C正确.
故选：AC.
61．AC
【分析】根据直线垂直公式建立方程求角判断A，根据直线平行公式建立方程求角判断B，结合点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系判断C，举例判断D.
【详解】对于A，直线：与直线：，
若，则，即，又，所以，
或或，解得或或，正确；
对于B，若，则，所以，又，
所以或，
当时，直线：即，
直线：即，两直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线：即，
直线：即，两直线平行，符合题意；
所以，B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为1，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
所以直线和直线均与圆相切，正确；
对于D，当时，直线：化简为，直线斜率不存在；
当时，直线：化简为，直线斜率不存在；D错误.
故选：AC
62．
【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.
【详解】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，
解得，
则所求圆的一般方程为：，
.故答案为：.
63．
【分析】求出圆心半径，根据题意得到圆心与原点的距离和半径的大小关系，解出不等式即可.
【详解】圆方程整理为，则圆心，
，因为圆不经过第三象限，
所以，解得，则.
故答案为：.
64．(1)证明见解析
(2)
(3)见解析.
【分析】（1）变形方程，依题意列出方程组，解出即可；
（2）求得截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可；
（3）根据截距为整数，求得的值，即可得到所求直线方程.
【详解】（1）由得:
；
则，解得
所以不论为何值，直线必过一定点；
（2）由得，
当时，，当时，，
又由，得，
∴
,
当且仅当，即时取等号
∴，，
∴的周长为；
（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，
即，均为整数，
所以，均为整数，∴，，，，，0，，2，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线的方程为，，，，，，，.
65．
【分析】如图，易知，利用垂径定理和三角形等面积可得，结合点到直线的距离公式可知当最小时取得最大值，进而求解.
【详解】由题意知，，
则圆心，半径，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则，易知，
所以，有，，
所以，得，
当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为
，此时，所以；
又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，
所以，即线段AB的长度的取值范围为.
故答案为：
66．(1)
(2)
【分析】（1）设，则由题意可得，解方程组求出，从而可求出圆的方程，
（2）首先求出的轨迹方程，从而得到直线与圆的位置关系，再列出不等式解出即可.
【详解】（1）设坐标，则，
解得，即坐标
圆与轴相切于圆方程.
（2），圆半径，
轨迹是以为圆心，为半径的圆，则其轨迹方程为，
又在直线上，直线与圆有公共点，即，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
