专题11.8一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优）
姓名：__________ 班级：__________得分：__________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式2x﹣1≤4的最大整数解是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．不等式2x﹣1≥3x﹣3的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．使不等式x+1＞4x+5成立的最大整数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
4．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．2＜a≤3 B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2
5．关于x的不等式x﹣b＞0恰有7个负整数解，则b的取值范围是（ ）
A．﹣8＜b＜﹣7 B．﹣8≤b＜﹣7 C．﹣8＜b≤﹣7 D．﹣8≤b≤﹣7
6．一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣3＜a＜﹣1
7．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a≤0 B．﹣2＜a≤﹣1 C．﹣1≤a＜1 D．﹣2≤a＜0
8．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（ ）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1
9．若关于x的不等式组所有整数解的和是6，则m的取值范围是（ ）
A．2＜m≤3 B．2≤m＜3 C．3＜m≤4 D．3≤m＜4
10．若不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a＜3 B．2＜a≤3 C．2＜a＜3 D．a＜3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．不等式2x﹣1＜5的正整数解为 ．
12．不等式的非负整数解为 ．
13．若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是 ．
14．如果不等式3x﹣m≤0有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
15．若不等式2x＜1﹣3a的解集中所含的最大整数为4，则a的范围为 ．
16．若关于x的不等式组的整数解只有1个，则a的取值范围是 ．
17．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
18．已知关于x的不等式组（a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，则所有这样的a的和为 ．
三．解答题（共6小题）
19．解不等式（组）
（1）解不等式x1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
20．已知a、b是整数，关于x的不等式x+2b＞a的最小整数解是8，关于x的不等式x﹣3b+19＜2a的最大整数解为8．
（1）求a、b的值．
（2）若|m﹣b|＝m﹣b，|m﹣a|＞a﹣m，求m的取值范围．
21．已知关于x的不等式组．
（1）如果这个不等式组无解，求k的取值范围；
（2）如果这个不等式组有解，求k的取值范围；
（3）如果这个不等式组恰好有2017个整数解，求k的取值范围．
22．（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；
（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围；
（3）已知不等式组的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．
23．已知关于x的不等式组．
（1）将不等式组的解集表示在数轴上，并求出x的最小整数解；
（2）若x的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a的值．
24．对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y）（其中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝2，则A（3，4）＝ ．
（2）已知A（1，1）＝0，A（0，2）＝2．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D
【分析】解不等式求得x的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【解析】移项、合并，得：2x≤5，
系数化为1，得：x≤2.5，
∴不等式的最大整数解为2，
【点评】本题主要考查解不等式的能力，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
2．B
【分析】移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．
【解析】移项，得：2x﹣3x≥﹣3+1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
则x≤2．
则正整数解是：1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
3．D
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解析】x+1＞4x+5，
3x＜﹣4，
x，
∴不等式的最大整数解是﹣2；
【点评】本题主要考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
4．A
【分析】首先确定不等式的正整数解，则a的范围即可求得．
【解析】关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，
则正整数解是：1，2．
则a的取值范围：2＜a≤3．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据a的取值范围正确确定a与2和3的关系是关键．．
5．B
【分析】解不等式可得x＞b，根据不等式有7个负整数解即可得b的范围．
【解析】解不等式x﹣b＞0得x＞b，
∵不等式x﹣b＞0恰有7个负整数解，
∴﹣8≤b＜﹣7，
【点评】本题考查了不等式的负整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围．
6．B
【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的两个负整数解只能是﹣2、﹣1，求出a的取值范围即可求解．
【解析】∵关于x的一元一次不等式x≥a只有两个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a的2个负整数解只能是﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件．
7．B
【分析】分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，解之即可．
【解析】解不等式x﹣a≥1得：x≥a+1，
解不等式5﹣2x＞1得：x＜2，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为a+1≤x＜2，
不等式的两个整数解为0和1，
∴﹣1＜1+a≤0，
解得：﹣2＜a≤﹣1，
即实数a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1，
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确找出不等关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．
8．C
【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．
【解析】，
解不等式①可得x＞m，
解不等式②可得x≤3，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有三个整数解，
∴整数解为1，2，3，
∴0≤m＜1．
【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用．
9．C
【分析】表示出不等式组的解集，由所有整数解和是6，确定出m的范围即可．
【解析】不等式组整理得：，
解得：1≤x＜m，
由所有整数解和是6，得到整数解为1，2，3，
则m的范围为3＜m≤4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
10．A
【分析】首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．
【解析】，
解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，
解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，
∴﹣a≤x＜1．
∵此不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0，
∴﹣3＜﹣a≤﹣2，
∴2≤a＜3．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11． 1，2 ．
【分析】先求出不等式的解集，从而得出答案．
【解析】接：∵2x﹣1＜5，
∴2x＜6，
则x＜3，
所以不等式的正整数解为1，2，
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
12． 0 ．
【分析】直接解不等式进而得出x的取值范围得出答案．
【解析】
3（1﹣x）＞2（2x﹣1），
则3﹣3x＞4x﹣2，
故﹣7x＞﹣5，
解得：x，
故不等式的非负整数解为0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．
13． 6≤a＜8 ．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解析】解不等式2x﹣a≤0，得：x，
∵其正整数解是1、2、3，
所以34，
解得6≤a＜8，
故答案为：6≤a＜8
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
14． 9≤m＜12 ．
【分析】先解不等式得到x，则整数解为1、2、3，所以34，解得9≤m＜12．
【解析】解不等式3x﹣m≤0，得x．
已知不等式有3个正整数解，所以正整数解为1、2、3．
所以34，解得9≤m＜12．
故答案为9≤m＜12．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，求不等式的整数解，一般是先解不等式，在不等式范围内找整数解．
15． ﹣3≤a ．
【分析】先求出不等式的解集，根据最大整数为4得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解析】2x＜1﹣3a，
x，
∵不等式2x＜1﹣3a的解集中所含的最大整数为4，
∴45，
解得：﹣3≤a，
故答案为：﹣3≤a．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．
16． 3＜a≤4 ．
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有1个整数解即可求得a的范围．
【解析】，
解不等式①得：x＜a，
解②得：x＞2．
则不等式组的解集是2＜x＜a．
∵不等式组只有1个整数解，
∴整数解是3．
则3＜a≤4．
故答案为：3＜a≤4．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17． 7≤a＜8 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
【解析】解不等式组得：4＜x≤a，
∵关于x的不等式组有3个整数解，
∴7≤a＜8．
故答案为：7≤a＜8．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．
18． 5 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解析】，
∵解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤a+5，
∴不等式组的解集为a﹣1＜x≤a+5，
∴不等式组的整数解a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，
∵所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，
∴21.6≤6a+15＜33.6，
∴1.1≤a＜3.1，
∴a的值为2，3，
∴2+3＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
三．解答题（共6小题）
19．
【分析】（1）利用不等式的基本性质，先将不等式去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解．
【解析】（1）去分母，得：6x+2（x+1）≤6﹣（x﹣14），
去括号，得：6x+2x+2≤6﹣x+14，
移项，得：6x+2x+x≤6+14﹣2，
合并同类项，得：9x≤18，
系数化为1，得：x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
；
（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．
【分析】（1）根据已知条件得到a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得不等式组于是得到结论．
【解析】（1）∵为a、b是整数，
∴a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，
由x+2b＞a解得：x＞a﹣2b，
由x﹣3b+19＜2a解得：x＜2a+3b﹣19，
于是，由题意可得：，
解得：；
（2）由题意得：，
即：，
解得：，
∴m的取值范围是：m＞11．
【点评】考查了对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于ab的方程组．
21．
【分析】（1）根据不等式组无解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；
（2）根据不等式组有解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；
（3）首先根据不等式恰好有2013个整数解求出不等式组的解集为﹣1＜x＜2017，再确定2016≤1﹣k＜2017，然后解不等式即可．
【解析】（1）根据题意得：﹣1≥1﹣k，
解得：k≥2．
（2）根据题意得：﹣1＜1﹣k，
解得：k＜2．
（3）∵不等式恰好有2017个整数解，
∴﹣1＜x＜2017，
∴2016≤1﹣k＜2017，
解得：﹣2016＜k≤﹣2015．
【点评】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．
【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．
【解析】（1）∵x＝a+2，
∴若x＜8，则a+2＜8，
解得a＜6；
（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，
∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，
∴a+2＜8，
解得a＜6；
（3）不等式变形得：，
由任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，
得到，
解得：3≤a＜6，
∴a的整数解为3，4，5．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．
【分析】（1）首先分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴得到不等式组的解集，即可求出最小整数解；
（2）根据x的最小值，求得a的值，然后把a的值代入4a求得结果即可．
【解析】，
由①得x≥﹣1，
由②得x＞1，
∴不等式组的解集为x＞1，
在数轴上表示为：
x的最小整数解为x＝2；
（2）将x＝2代入2x﹣ax＝3，求得：a，
则．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集；也考查了一元一次方程的解．
24．
【分析】（1）根据新定义就是即可；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．
【解析】（1）根据题中的新定义得：1×4+2×3＝10，
故答案为10；
（2）根据题中的新定义得：，
解得：；
（3）由（2）化简得：A（x，y），
∴在关于正数p的不等式组中，3p﹣（2p﹣1）＝p+1＞0，﹣1﹣3p﹣（﹣2p）＝﹣1﹣p＜0，
∴A（3p，2p﹣1）＝3p﹣2p+1＝p+1＞4，
A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+1+3p＝p+1≤m，
∴p＞3，p≤m﹣1
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为4，5．
∴5≤m﹣1＜6，
∴6≤m＜7．
【点评】本题属于新定义的运算，按照定义式子中列出算式是解题的关键，本题难度中等偏大．
