2022-2023学年青岛新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．如果a的绝对值是它的相反数，那么成立的是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
2．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠4
3．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD绕原点O顺时针旋转90°，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣2，3） C．（﹣2017，2） D．（﹣2017，﹣2）
4．如图是由6个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2，﹣9），D（﹣4，﹣1）先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1绕着A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线交点坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或 （5，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
7．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．65° B．25° C．15° D．35°
8．已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．分解因式：ax3y﹣axy＝ ．
10．方程的根是 ．
11．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A、点B、点O均落在格点上，则∠OAB的正弦值为 ．
12．从2，3，4，6中任意选两个数，记作a和b，且a≠b，那么点（a，b）在函数y＝图象上的概率是 ．
13．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π） ．
14．如图，已知点A（3，1），点B，C在x轴上，△ABC与△DEF关于点O位似，相似比为，则点D的坐标是 ．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）已知A＝（﹣） ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
17．（6分）如图，已知，四边形ABCD中，AD∥BC，OE＝OF，OA＝OC，求证：∠B＝∠D．
18．（6分）图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16cm，宽AD＝12cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．
（1）求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．
参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.13°≈1.33，π取3.14．
19．（7分）全面二孩政策已于2016年1月1日正式实施，重庆八中宏帆中学初2019级组队该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）：
A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查一共调查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常满意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
20．（7分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
21．（10分）某养殖场现有44吨龙虾需销售，销售方式每天只能选择批发或零售．其销售方式、销量与利润情况如表：
销售方式 批发 零售
销量（吨/天） 4 1
利润（元/吨） 1200 2000
（1）该养殖场销售一半龙虾共获得总利润为28000元，求该养殖场批发与零售龙虾各多少吨？
（2）若剩下的龙虾必须在10天内售完，问安排多少吨龙虾零售，才能使所获利润最大？并求出最大利润．
22．（10分）已知：AB为⊙O的直径，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，CF⊥AB，垂足为点F．
（1）如图1，求证：AD＝AF；
（2）如图2，若AB＝12，连接OD交AC于点G，且时，求CF的长度．
23．（10分）如图1．平面直角坐标系O为原点，长方形ABCO的顶点A、C在坐标轴上，点A（0，a），C（b，0），且已知a是64的立方根，a﹣2b＝0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，有两动点P、Q，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿O→A→B的路线匀速移动，Q点到达B点整个运动随之结束．若长方形对角线AC、BO的交点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒，问：以O、Q、D、P为顶点的多边形面积是否为定值，若是，请求出此多边形的面积；若不是，请说明理由．
（3）如图2，F是线段AC上一点，使∠FOC＝∠FCO，点E是线段OA上任意一点（E不与点O重合），连接CE交OF于点G．已知∠OEC＝∠ACE+∠OAC，求的值．
24．（10分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：由a的绝对值是它的相反数，得
a≤0．
故选：D．
2．解：由题意得：x﹣2≥0，x﹣4≠0
解得：x≥2且x≠4，
故选：D．
3．解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（﹣2﹣1，﹣1），即（﹣3，﹣1），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（﹣1﹣1，3），即（﹣2，3），
第4次变换后的点M的对应点的坐标为（3﹣1，2），即（2，2），
由此发现，4次一个循环，
2019÷4＝504…3，
∴过2019次这样的变换得到点M的坐标（﹣2，3），
故选：B．
4．解：从正面看去，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有1个小正方形，主视图是
．
故选：A．
5．解：A、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；
B、菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；
D、菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．
故选：C．
6．解：由题意得：A1（0，0），C1（6，8），
根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线交点E1是A1C1的中点，
∴E1（3，4），
由勾股定理得：A1E1＝＝5，
当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），
当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），
故选：D．
7．解：∵AB是⊙O的直径，∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝×50°＝25°．（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
故选：B．
8．解：∵二次函数开口向下，
∴m＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，n＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，
∴a＞0，
∴＜0，﹣n＜0，
∴一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：原式＝axy（x2﹣）＝axy（x+）（x﹣），
故答案为：axy（x+）（x﹣）
10．解：方程的两边都乘以x（x+3）得：66x﹣60（x+3）＝0，
解这个方程得：66x﹣60x﹣180＝0，
6x＝180，
x＝30，
∵检验：把x＝30代入x（x+3）＝990≠0，
∴x＝30是原方程的解．
故答案为：x＝30．
11．解：过O作OC⊥AB于C，如图所示：
则OC＝2，AC＝4，
由勾股定理可得：OA＝＝＝2，
∴sin∠OAB＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵点（a，b）在函数y＝，
∴ab＝8，
画树状图如图所示，
一共有12种情况，ab＝8的有（2，4）和（4，2）两种，
所以，P＝＝．
故答案为：．
13．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，
则BH＝HC＝BC＝3，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝30°，
∴OB＝＝2，OH＝，
∴阴影部分的面积＝﹣×6×＝4π﹣3，
故答案为：（4π﹣3）cm2．
14．解：如图所示：
∵点A（3，1），点B，C在x轴上，△ABC与△DEF关于点O位似，相似比为，
∴点D的坐标是：（6，2）．
故答案为：（6，2）．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．解：原式＝
＝
＝﹣1+9
＝8．
16．解：（1）A＝（﹣）
＝
＝
＝（m+n）
＝m+n；
（2）∵m+n﹣2＝0，
∴m+n＝2，
当m+n＝2时，A＝m+n＝（m+n）＝×2＝6．
17．证明：∵OE＝OF，OA＝OC
∴四边形AECF是平行四边形
∴CE∥AF，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D
18．解：（1）如图1，连接AC，BD相交于点O，O为矩形ABCD的中心，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝16，AD＝12，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABD中，
∴＝＝20，
∴⊙O的半径长为：OD＝BD＝（cm），
tan∠ADB＝＝≈1.33．
∴∠ADB＝53.13°．
∴∠DOC＝2∠ADB＝2×53.13°≈106.3°；
（2）如图2，∵S弓形DmC＝S弓形DnC'，
∴扫过的面积：S＝（cm2）．
19．解：（1）20÷50%＝40（名），
所以本次问卷调查一共调查了40名学生，
选B的人数＝40×30%＝12（人），
选A的人数＝40﹣12﹣20﹣4＝4（人）
补全条形统计图为：
故答案为：40；
（2）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数为6，
所以选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率＝＝．
20．解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4，
∵CD⊥x轴，
∴OB∥CD，
∴△ABO∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD＝20，
∴点C坐标为（﹣4，20），
∴n＝xy＝﹣80，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12．
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得，
x1＝10，x2＝﹣4，
当x＝10时，y＝﹣8，
∴点E坐标为（10，﹣8），
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝；
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
21．解：（1）设该养殖场批发龙虾x吨，零售龙虾y吨，
依题意得：，
解得：．
答：该养殖场批发龙虾20吨，零售龙虾2吨．
（2）设该养殖场零售龙虾m吨，则批发龙虾×44﹣m＝（22﹣m）吨，
依题意得：m+≤10，
解得：m≤6．
又∵m≥0，
∴0≤m≤6．
设销售剩余龙虾获得的利润为w元，则w＝1200（22﹣m）+2000m＝800m+26400，
∵800＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最大值，最大值＝800×6+26400＝31200．
答：安排6吨龙虾零售，才能使所获利润最大，最大利润为31200元．
22．解：（1）如图1，连接OC，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝OAC，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF
（2）连接OC，
∵OC∥AD，
∴∠ADG＝∠GOC，∠DAG＝∠GCO，
∴△OCG∽△DAG，
∴，
∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴AD＝10，
∴AF＝10，
∴OF＝4，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
．
23．解：（1）∵a是64的立方根，a﹣2b＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）以O、Q、D、P为顶点的多边形面积为定值．
理由如下：
①当0＜t＜2时，S四边形OQDP＝S△ODP+S△ODQ＝×2t×2＝2，
②当t＝2时，S△PDQ＝S△ODA＝×4×1＝2，
③当2＜t＜3时，S四边形OPQD＝S△OPQ+S△ODQ＝S△OPQ+（S△OAB﹣S△OAQ﹣S△QDB）
＝＝2，
④当t＝3时，S四边形ODQP＝S△POB＝×（t﹣2）×4＝2，
综上所述，以O、Q、D、P为顶点的多边形面积为定值，值为2．
（3）设∠FOC＝∠FCO＝x，∠ACE＝y，
∴∠EOC＝x﹣y（等式性质），
在△AEC中，∠OEC＝∠OAC+y，
在△OCG中，∠OGC＝180°﹣x﹣（x﹣y）＝180°﹣2x+y（三角形的内角和为180°），
在△AOC中，∠OAC＝180°﹣90°﹣x＝90°﹣x（三角形的内角和为180°），
∴原式＝．
24．解：（1）对直线y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，2）．
（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），
∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1），
把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：
a（0﹣4）（0+1）＝2，
解得：a＝，
∴y＝（x﹣4）（x+1）＝x2+x+2．
（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴对称轴为x＝，
∴D（，0），
∵C（0，2），
∴CD＝，
①如图1，当CD＝PD时，
PD＝，
∴P1（），P2（），
②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，
∵CD＝CP3，CH⊥DP3，
∴DH＝P3H，
∵C（0，2），
∴DH＝2，
∴P3H＝2，
∴P3D＝4，
∴P3（，4），
综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．
