2022-2023学年浙教新版七年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在高2米，宽4米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要少（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
2．方程2x+y＝9的正整数解有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
3．我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒物被称为大气污染的元凶PM2.5是指直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，用科学记数法表示数2.5×10﹣3，它应该等于（ ）
A．0.25 B．0.025 C．0.0025 D．0.00025
4．如图所示，结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角 B．∠3和∠5是同旁内角
C．∠5和∠6是同位角 D．∠1和∠2是同旁内角
5．下列各式计算中，正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 B．2m2 m3＝2m5
C．（﹣m3n）3＝﹣m6n3 D．﹣（m﹣n）2＝﹣m2+n2
6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣4a﹣5＝（a﹣2）2﹣9
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
7．若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．
8．计算：（a3）4＝a3×4＝a12，其中，这一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．同底数幂的乘法法则
C．乘法分配律 D．去括号法则
9．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
10．下列计算正确的是（ ）
A．﹣（﹣a3）2＝a6 B．3b2 4b2＝12b2
C．（2x+3）（2x﹣3）＝2x2﹣9 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 ．
12．计算：3﹣1+（﹣）0＝ ．
13．在数学中，为了书写简便，我们记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，如（x+k）＝（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4），则化简 [（x﹣k）（x﹣k﹣1）]的结果是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD交于点O．点M，N分别在边BC和CB的延长线上．将△NOM沿NM方向平移，得△BQP，点N，O，M的对应点分别为B，Q，P．再将△BQP沿BQ翻折，点P恰好落在点D上，此时点Q在PD上．则△NOM平移的距离为 ．
15．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝ °．
16．已知x2+y2＝1，y2+z2＝2，z2+x2＝2，且x，y，z为实数，则xy+yz+zx的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）计算：
（1）（3x2﹣2x+2）（2x+1）；
（2）（12p3q4+20p3q2r﹣6p4q3）÷（﹣2pq）2．
18．（5分）解答题：
（1）[（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣3b2]÷（2b），其中a＝﹣1，b＝．
（2）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
19．（9分）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）计算：（x+2）（x﹣3）+（x﹣1）2．
21．（8分）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，求∠ACD的度数．
22．（8分）已知关于x，y的方程组．
（1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（2）无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
23．（10分）某文艺团为了给“希望工程”募捐，准备组织一场义演．若售出的票为1000张，其中成人票每张8元，学生票每张5元，能否筹得票款刚好为6930元，为什么？
24．（12分）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．
根据上述解题思路，请写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ，并写出证明过程；
【拓展延伸】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的平方为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵把楼梯的水平线段向下平移，竖直线段向右平移可得地毯长度为直角三角形两直角边的和，
∴地毯长度至少为：2+4＝6（米），
故选：B．
2．解：方程2x+y＝9，
解得：y＝﹣2x+9，
当x＝1时，y＝7；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝3；x＝4时，y＝1，
即方程2x+y＝9的正整数解有4组，
故选：C．
3．解：2.5×10﹣3＝0.0025．
故选：C．
4．解：A、∠1与∠4不是内错角，故A错误；
B、∠3与∠5是同位角，故B错误；
C、∠5与∠6是内错角，故C错误；
D、∠1与∠2是同旁内角，故D正确；
故选：D．
5．解：A、原式＝a2﹣b2，不符合题意；
B、原式＝2m5，符合题意；
C、原式＝﹣m9n3，不符合题意；
D、原式＝﹣（m2﹣2mn+n2）＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意．
故选：B．
6．解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
故选：C．
8．解：（a3）4
＝a3×4（幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘）
＝a12，
故选：A．
9．解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选：B．
10．解：A：原式＝﹣a6，∴不符合题意；
B：原式＝12b4，∴不符合题意；
C：原式＝4x2﹣9，∴不符合题意；
D：原式＝﹣64z，∴符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），
∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
12．解：3﹣1+＝+1＝．
故答案为：．
13．解：原式＝（x﹣1）（x﹣1﹣1）+（x﹣2）（x﹣2﹣1）+（x﹣3）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣2）+（x﹣2）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）
＝（x﹣2）（x﹣1+x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）
＝（x﹣2）（2x﹣4）+（x﹣3）（x﹣4）
＝2（x﹣2）2+（x﹣3）（x﹣4）
＝2（x2﹣4x+4）+x2﹣4x﹣3x+12
＝2x2﹣8x+8+x2﹣4x﹣3x+12
＝3x2﹣15x+20．
故答案为：3x2﹣15x+20．
14．解：由翻折可得，BD＝BP，
由平移可得，OM∥QP，
又∵D，Q，P三点共线，
∴OM∥DP，
又∵矩形ABCD中，O是BD的中点，
∴M是BP的中点，
∴MP＝BP，
又∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝BD＝＝，
∴MP＝，
即△NOM平移的距离为，
故答案为：．
15．解：∵∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠C＝78°，
∴∠B＝180°﹣78°＝102°．
故答案为：102．
16．解：由已知条件可得，
∵若x2+y2＝1，y2+z2＝2，z2+x2＝2，
∴x2＝y2＝，z2＝，
∴x＝±，y＝±，z＝±，
∵xy+yz+zx＝xy+（x+y）z，
①当x、y同号时，xy＝x2＝，x+y＝或，
xy+yz+zx≥﹣×＝ ，
②当x、y异号时，xy＝﹣，x+y＝0，
xy+yz+zx＝﹣+0＝﹣＞﹣，
∴xy+yz+zx的最小值是﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．解：（1）（3x2﹣2x+2）（2x+1）
＝6x3+3x2﹣4x2﹣2x+4x+2
＝6x3﹣x2+2x+2；
（2）（12p3q4+20p3q2r﹣6p4q3）÷（﹣2pq）2
＝（12p3q4+20p3q2r﹣6p4q3）÷4p2q2
＝3pq2+5pr﹣p2q．
18．解：（1）[（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣3b2]÷（2b）
＝（a2+4ab+4b2﹣a2+b2﹣3b2）÷（2b）
＝（2b2+4ab）÷（2b）
＝b+2a，
当a＝﹣1，b＝时，原式＝+2×（﹣1）＝﹣；
（2）∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝32﹣4×2＝1．
19．解：（1），
①×2﹣②，得3x＝6，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝3，
故原方程组的解为；
（2）设，，
则原方程组的解为，
①+②，得2a＝，
解得a＝，
把a＝代入①，得，
解得b＝﹣，
∴，，
解得，y＝﹣，
故原方程组的解为．
20．解：原式＝x2﹣3x+2x﹣6+x2﹣2x+1
＝2x2﹣3x﹣5．
21．解：如图，延长AC交EF于点G，
∵AB∥EF，
∴∠DGC＝∠BAC＝50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG＝90°，
∴∠ACD＝90°+50°＝140°．
22．解：（1）根据题意，联立，
①﹣②，得y＝5，
将y＝5代入①，得x＝﹣5．
把代入m﹣2y+mx+9＝0，
可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，
解得m＝．
∴m的值为．
（2）这个公共解为．
理由：将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，
∵无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，
∴1+x＝0，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，
可得y＝．
∴这个公共解为．
23．解：不能筹得票款刚好为6930元，理由如下：
设能筹得票款刚好为6930元，售出的成人票为x张，学生票为y张，
依题意得：，
解得：，
∵x、y为正整数，
∴不能筹得票款刚好为6930元．
24．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
故答案为：DA＝DC+DB；
（2）DA＝DB+DC，
如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN＝2，∠QMN＝30°，
∴QN＝MN＝1，
∴MQ＝＝＝，
由（2）知PQ＝QN+QM＝1+，
∴PQ＝＝，
∴PQ2＝2+．
