20203年中考九年级数学第一轮复习实际问题与二次函数专项练习
一、综合题
1．夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．
2．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
3． 某数学兴趣小组通过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表所示
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元
（1）请写出销售该运动服每件的利润是 元（用含x的式子表示）
（2）请写出月销量y与售价x之间的函数关系式
（3）设月利润为w元，请求出售价x为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
4．某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一”节，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（2）每件童装降价多少元时童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
5．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件） n=50﹣x
销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，m=20+ x
当21≤x≤30时，m=10+
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
6．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二月结束后.批发商核对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.
（1）填表（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80
40
销售量 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少？
（3）如果批发商希望通过销售这批T恤获利最大，那么最大利润可达到多少元？(直接写出答案)
7．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系．
（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
8．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴.年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示.
（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式.
（2）根据预计情况，求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式.（总收入=销售收入-种植成本+种植补贴）.
9．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
10．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习456 提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
11．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 6
X（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
12．实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为，则 ．（填“>”“=”或“<”）．
13．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣ （t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
14．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？
（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？
15．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润为4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
16．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=﹣x+140，该商场销售这种服装获得利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商场想要获得不低于700元的利润，试确定销售单价x的范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，
∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；
（2）解：当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，
∵1840＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W最大值=1840×5+36800=46000；
当5＜x≤10时，
W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x=6时，W最大值=45760元．
∵46000＞45760，
∴当x=5时，W最大，且W最大值=46000元．
综上所述：W= ．
2．【答案】（1）解：由题意得出：w=（x﹣20） y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600
（2）解：w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
（3）解：当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．
解得：x1=25，x2=35．
∵x<28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
3．【答案】（1）x﹣60
（2）y＝﹣2x+400
（3）解：由题知 W＝（x﹣60）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+520x﹣24000
＝﹣2（x﹣130）2+9800
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元。
4．【答案】（1）解：设每件童装降价x元，根据题意
（100-60-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
∵要使顾客得到较多的实惠，
∴取x=20，
答：童装店应该降价20元．
（2）解：设每件童装降价x元，可获利y元，根据题意，得y=（100-60-x）（20+2x），
化简得：y=-2x2+60x+800
∴y=-2（x-15）2+1250
答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元．
5．【答案】（1）解：分两种情况
①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+ x，解得x=10
②当21≤x≤30时，25=10+ ，解得x=28
经检验x=28是方程的解
∴x=28
答：第10天或第28天时该商品为25元/件．
（2）解：分两种情况
①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+ x﹣10）（50﹣x）=﹣ x2+15x+500，
②当21≤x≤30时，y=（10+ ﹣10）（50﹣x）=
综上所述：
（3）解：①当1≤x≤20时
由y=﹣ x2+15x+500=﹣ （x﹣15）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴当x=15时，y最大值= ，
②当21≤x≤30时
由y= ﹣420，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值= ﹣420=580元
∵
∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
6．【答案】（1）解：
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80-x 40
销售量 200 200+10x 400-10x
（2）解：根据题意，得
（80-50）×200+（80-x-50）（200+10x）-（50-40）（400-10x）=8750
整理，得x2-20x+75=0，
解这个方程得x1=5，x2=15.
答：第二个月的单价应是75元或65元.
（3）解：9000元
7．【答案】（1）解：，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为70元；
（2）解：由题意可得，，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，w取得最大值，此时，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
8．【答案】（1）解：设函数关系式为，根据图象可知，函数图象过点，
将这两点代数函数关系式可得：，
解得：，
故函数关系式为：
（2）解：销售收入：；
成本：
补贴：150x；
因为，总收入=销售收入-种植成本+种植补贴
所以，
整理得：.
9．【答案】（1）解：由题意，得
y＝（100﹣5x）（2x+4），
＝﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；
答：y关于x的函数关系式为y＝﹣10x2+180x+400；
（2）解：∵y＝﹣10x2+180x+400，
∴y＝﹣10（x﹣9）2+1210．
∵1≤x≤10的整数，
∴x＝9时，y最大＝1210．
答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．
10．【答案】（1）解：设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 ，
由题意，得 ，
解得： ， （舍去）.
答：平均每年的增长率为 .
（2）解：设每千克的平均销售价为 元，由题意得：
∴当 时， .
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元.
11．【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=，
则y=（x﹣1）2+0.45，
当y=0时，0=（x﹣1）2+0.45，
解得：x1=，x2=（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是m；
（3）【解答】①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（，0），代入y=a（x﹣3）2+k，得（﹣3）2a+k=0，化简得：k=a；②由题意可得，扣杀路线在直线y=x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣a，令a（x﹣3）2﹣a=x，整理得：20ax2﹣（120a+2）x+175a=0，当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意，解方程得：a1=，a2=，
当a1=时，求得x=，不符合题意，舍去；
当a2=时，求得x=，符合题意．
12．【答案】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为
（2）＜
13．【答案】（1）解：∵点C到ED的距离是11米，
∴OC=11，
设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B（8，8），
∴64a+11=8，
解得a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+11
（2）解：水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11﹣5=6（米），
∴6=﹣ （t﹣19）2+8，
∴（t﹣19）2=256，
∴t﹣19=±16，
解得t1=35，t2=3，
∴35﹣3=32（小时）．
答：需32小时禁止船只通行
14．【答案】（1）解：设标价为x，则进价为x-45，
8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，
整理得360-1.2x=120，
即1.2x=240，
解得：x=200，
则每件进价为：200-45=155（元）
答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．
（2）解：设工艺品降价m元，则
(45-m)(100+4m)=4800
解得：m1=5，m2=15
∵要使消费者得到实惠
∴m=15
答：每件工艺品降价15元出售．
（3）解：设工艺品定价为a元，
总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]
=-4a2＋1520a－139500
=-4(a-190)2+4900，
∵(a-190)2≥0
∴-4(a-190)2≤0
∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190
答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．
15．【答案】（1）y=100+5（80-x）=-5x+500
（2）解：由题意得
W=（x-40）（-5x+500）=-5（x-70）2+4500.
∵-5＜0
∴当x=70时，W最大值为4500.
答：当售价为70元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元.
（3）解：-5（x-70）2+4500=4175+200
解之：x1=65，x2=75.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70
∴当65≤x≤75时，符合网店要求，
为了让消费者得到最大的实惠，
∴x=65，
∴当售价 定为65元时，符合网店要求，又让消费者得到最大的实惠.
16．【答案】（1）解：根据题意可得：
w=（x﹣60）y，
=（x﹣60）（﹣x+140），
=﹣x2+200x﹣8400，
=﹣（x﹣100）2+1600
（2）解：∵w=﹣（x﹣100）2+1600，
a=﹣1＜0，
∴当x=100时，w取最大值，最大值为1600，
∴销售单价定为100元时，商场可获得最大利润，最大利润是1600元
（3）解：当w=700时，
﹣（x﹣100）2+1600=700，
解得：x1=70，x2=130，
∵抛物线w=（x﹣100）2+1600开口向下，
∴当70≤x≤130时，w≥750，
∴销售单价x的范围定为：70≤x≤130
