2022-2023学年湖北省黄石十六中等五校七年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（共10小题）
1．下列图案中可以看成是由图案自身的一部分经平移变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．9的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．81
3．在下列各数中，无理数是（ ）
A．π B． C． D．
4．如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58° B．112° C．120° D．132°
5．如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4 B．∠B＝∠5
C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°
7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（ ）
A．155° B．145° C．135° D．125°
8．沿某一方向行驶的汽车经过两次拐弯后与开始行驶的方向正好相反，若汽车第一次是右拐40°，则第二次应该是（ ）
A．左拐40° B．左拐50° C．左拐140° D．右拐140°
9．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
，，3，，，
，，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，3）
10．下列说法正确的是（ ）
①+＝0；
②若+2＝0，则m＝1；
③无理数是无限小数；
④实数与数轴上的点一一对应．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（3*4+4*4＝28）
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式： ．
13．如图，利用直尺和三角板，过直线AB外一点P画直线CD，使CD∥AB，画图的依据是 ．
14．一个正数a的平方根分别是m和﹣3m+1，则这个正数a为 ．
15．现规定一种运算：a※b＝ab+a﹣b，其中a，b为实数，则※＝ ．
16．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °．
17．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，当BP＝ 时长度最短．
18．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③若∠A＝α，则∠BDF＝180；④与∠DBE互余的角有2个，其中正确的有 .（把你认为正确结论的序号都填上）
三．解答题（共7小题62分）
19．（1）计算：
①﹣﹣+|1﹣|；
（2）求下列各式的x值：
②＝2；
③8（x﹣1）3＝﹣．
20．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
21．（1）已知与互为相反数，求的值；
（2）已知|2a+6|与互为相反数，求2a﹣3b的平方根．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．
23．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；
（2）线段AA'与线段CC'的关系是 ；
（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．
24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
25．如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分∠EGF，∠PFD＝∠PEG，探究∠EPF与∠PGF之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，∠BEM＝2∠PEM，∠CFN＝2∠PFN．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若∠EPF＝150°，求∠FHQ﹣∠HQE的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列图案中可以看成是由图案自身的一部分经平移变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的定义，逐一判断即可．
解：A、是一个对称图形，不能由平移得到；
B、图形的方向发生了变化，不是平移；
C、是平移；
D、图形的大小发生了变化，不是平移．
故选：C．
【点评】判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
2．9的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．81
【分析】直接根据平方根的定义求解即可．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）．
3．在下列各数中，无理数是（ ）
A．π B． C． D．
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：A．π是无理数，故本选项符合题意；
B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．＝3，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．＝﹣2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：①含π的，如2π，②开方开不尽的根式，如，③一些有规律的数，如0.010010001...．
4．如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58° B．112° C．120° D．132°
【分析】根据平行线性质得出∠1＝∠3，根据对顶角相等即可得出答案．
解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠3＝∠1＝58°，
∴∠2＝∠3＝58°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
5．如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，
故选：C．
【点评】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．
6．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4 B．∠B＝∠5
C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”分别进行分析．
解：A、根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥CB，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（ ）
A．155° B．145° C．135° D．125°
【分析】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．
解：如图：
根据题意得∠2＝60°，∠β＝85°，
∵∠2＝60°，∠1+∠2+∠β＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠β＝180°﹣60°﹣85°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠1＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，掌握平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
8．沿某一方向行驶的汽车经过两次拐弯后与开始行驶的方向正好相反，若汽车第一次是右拐40°，则第二次应该是（ ）
A．左拐40° B．左拐50° C．左拐140° D．右拐140°
【分析】由直线l1∥直线l2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠2的度数，再结合对顶角相等可得出∠3的度数，进而可得出第二次是右拐140°．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵直线l1∥直线l2，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∴∠3＝∠2＝140°，
∴第二次是右拐140°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质以及对顶角，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
9．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
，，3，，，
，，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，3）
【分析】将这组数据变形为，，，，，…，，再得到最大的有理数为，最后根据排列的规律得出答案．
解：这组数，，3，，，…，，
也就是，，，，，…，，
共有30个数，每行5个，因为30÷5＝6，
所以这组数的最大的有理数是，这组数据的第27个位于第6行，第2个，
因此这组数的最大有理数的位置记为（6，2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标确定位置，算术平方根，数字的变化规律，将这组数据变形为，，，，，…，，得到最大的有理数为是解决问题的关键．
10．下列说法正确的是（ ）
①+＝0；
②若+2＝0，则m＝1；
③无理数是无限小数；
④实数与数轴上的点一一对应．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据立方根的意义，可判断①，根据算术平方根的意义，可判断②，根据无理数的意义，可判断③，根据实数与数轴的关系，可判断④．
解：①＝0，故①正确；
②被开方数互为相反数可得，被开方数为0，m＝1，故②正确；
③无理数是无限不循环小数，无限不循环小数是无限小数，故③正确；
④实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数，注意被开方数互为相反数，立方根互也为相反数．
二．填空题（3*4+4*4＝28）
11．若有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解：要是有意义，
则2x﹣1≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 ．
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点评】根据命题的定义来写．如果后面接题设，而那么后面接结论．
13．如图，利用直尺和三角板，过直线AB外一点P画直线CD，使CD∥AB，画图的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据．
解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
14．一个正数a的平方根分别是m和﹣3m+1，则这个正数a为 ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴m+（﹣3m+1）＝0，解得：m＝，
∴a＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
15．现规定一种运算：a※b＝ab+a﹣b，其中a，b为实数，则※＝ ﹣2 ．
【分析】先求出和的值，再根据规定的运算公式计算即可．
解：原式＝4※（﹣2）
＝4×（﹣2）+4﹣（﹣2）
＝﹣8+4+2
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，考核学生的计算能力，理解新定义的运算是解题的关键，这种运算等于两个数的乘积加上第一个数减去第二个数．
16．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 50 °．
【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．
解：∵AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝65°，
又∵∠DEF＝∠D′EF＝65°，
∴∠D′EF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案是：50．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
17．如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上高AD＝4，若点P在边AC上（不含端点）移动，当BP＝ 时长度最短．
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了垂线段最短，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
18．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③若∠A＝α，则∠BDF＝180；④与∠DBE互余的角有2个，其中正确的有 ①②③ .（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝∠EBG＝α，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判断③；根据余角的定义即可判断④．
解：∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，
∵BD平分∠EBG，
∴∠EBD＝∠DBG，
∴∠ABC＝∠GBC，
即BC平分∠ABG，故①正确；
∵AE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCG，
∵CB平分∠ACG，
∴∠ACB＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠GBC，
∴∠ACB＝∠GBC，
∴AC∥BG，故②正确；
∵AC∥BG，∠A＝α，
∴∠EBG＝∠A＝α，
∵∠EBD＝∠DBG，
∴∠EBD＝∠EBG＝α，
∵AB∥CF，
∴∠EBD+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故③正确；
与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
三．解答题（共7小题62分）
19．（1）计算：
①﹣﹣+|1﹣|；
（2）求下列各式的x值：
②＝2；
③8（x﹣1）3＝﹣．
【分析】（1）①直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）②直接利用平方根的定义得出答案；
③直接利用立方根的性质化简得出答案．
解：（1）①原式＝2﹣2﹣3+﹣1
＝﹣4；
（2）②∵x2＝6，
∴x＝±；
③∵（x﹣1）3＝﹣，
∴x﹣1＝﹣，
∴x＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关定义是解题关键．
20．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ CE∥BF （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝90°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
21．（1）已知与互为相反数，求的值；
（2）已知|2a+6|与互为相反数，求2a﹣3b的平方根．
【分析】（1）利用相反数的性质列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出所求；
（2）利用相反数的性质，以及非负数的性质列出方程，求出方程的解得到a与b的值，即可求出所求．
解：（1）∵与互为相反数，
∴1﹣2x+3x﹣7＝0，
可得x＝6，
∴＝＝8；
（2）∵|2a+6|与互为相反数，
∴2a+6＝0，3b+12＝0，
解得：a＝﹣3，b＝﹣4
∴2a﹣3b＝6，
∴2a﹣3b的平方根是±．
【点评】此题考查平方根的定义、非负数的性质，以及相反数的定义，能够根据相反数的定义和非负数的定义得到字母的值是解题关键．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由DA∥CE，DA⊥FE，得出CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）解：∵DA∥CE，DA⊥FE，
∴CE⊥AE于E，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF＝90°，
∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，
∵∠FAB＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，
∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
23．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；
（2）线段AA'与线段CC'的关系是 平行且相等 ；
（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A'，C'，再连接即可；
（2）根据平移的性质回答即可；
（3）根据图形得到扫过部分的图形，再根据面积公式计算．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）由平移可知：线段AA'与线段CC'的关系是平行且相等；
（3）由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，
∴面积为5×3＝15．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，多结合图形解决问题．
24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当＝12时，②当＝12时，分别计算即可．
解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【点评】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
25．如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分∠EGF，∠PFD＝∠PEG，探究∠EPF与∠PGF之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，∠BEM＝2∠PEM，∠CFN＝2∠PFN．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若∠EPF＝150°，求∠FHQ﹣∠HQE的度数．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据角的和差得到∠PFC+∠FPQ＝180°，即可判定AB∥CD；
（2）∠EPF＝180°﹣2∠PEG，根据平行线的性质及平角的定义求解即可；
（3）过点H作HT∥AB，过点Q作QK∥CD，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠AEP+∠EPQ＝180°，
∵∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠PFC＝360°．
∴∠PFC+∠FPQ＝180°，
∴PQ∥CD，
∴AB∥CD；
（2）解：∠EPF＝180°﹣2∠PEG，理由如下：
由（1）知，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF，
∵PG平分∠EGF，
∴∠AEG＝∠EGF＝2∠EGP＝2∠FGP，
∵∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
∴∠AEG+∠GEP+∠EPF+180°﹣∠PFD＝360°，即2∠PEG+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝180°﹣2∠PEG．
（3）解：如图3，过点H作HT∥AB，过点Q作QK∥CD，
∵AB∥CD，
∴HT∥AB∥QK∥CD，∠EPF＝∠PEB+∠PFD，
∴∠THQ＝∠HQK，∠THP＝∠CFN，∠BEM＝∠KQE，
设∠PFN＝x，∠PEM＝y，∠THQ＝∠KQH＝β，则∠CFN＝2x，∠BEM＝2y，
∴∠PFC＝3x，∠PEA＝180°﹣3y，∠FHQ＝2x﹣β，∠EQH＝2y﹣β，
∵∠EPF＝150°，∠BEM＝2∠PEM，∠CFN＝2∠PFN，
∴3x+180°﹣3y+150°＝360°，即x﹣y＝10°，
∵∠FHQ＝2x﹣β，∠EQH＝2y﹣β，
∴∠FHQ﹣∠EQH＝2（x﹣y）＝20°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
