沈丘县长安高级中学2022-2023学年度下学期高三质量检测
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.函数的定义域为（ ）
A. B.或
C. D.或
3.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量，满足，，则（ ）
A.8 B.–8 C.–4 D.4
7.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A.2 B.–2 C.4 D.–4
8.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为，，…，.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
9.平行四边形中，，，交于O，则等于（ ）
A.–3 B.3 C.–6 D.6
10.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则该三角形的形状一定是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形
11.设函数（，）的图象关于原点对称，且相邻两对称轴之间的距离为，则函数的单调递增区间为（ ）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
12.若直线与抛物线交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且，3，成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的零点是_________.
14.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为____________.
15.若函数是R上的奇函数，则a的值为___________.
16.已知， ，对，，且，恒有，则实数a的取值范围是______________.
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期.
（2）求函数的单调递减区间.
18.（12分）在直三棱柱中，，，，D在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
19.（12分）新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”.
成绩
频数 10 10 6 4
（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；
男生 女生 合计
防疫标兵
非防疫标兵
合计
（2）设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求，，，（精确到0.01）.
附：，
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（12分）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间上的最大值.
21.（12分）已知椭圆C：（），三点，，中恰有两点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段的中点P的横坐标为，过P作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的直角坐标方程为：，曲线C的直角坐标方程为：.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线（）分别交直线l和曲线C于M、N两点（N点不同于坐标原点O），求.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，且，求的最小值.
文科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B C D D B A C C A D
1.因为，所以，所以z在复平面上的点位于第三象限.
2.要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为或.
3.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有种方法，
这个两位数大于40的共有41，42，43，45，51，52，53，54共8种，故这个两位数大于40的概率为，
4.当时，两直线方程分别为4和，两直线平行；
当直线与直线平行时，有，解得或，其中时两直线重合，舍去，故.
所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.
5.由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，
∵三角形是等腰直角三角形且，∴；
∵是直角三角形，，；
∵是等腰三角形，且，；
又∵，∴，∴，∴，
∴该几何体的表面积是，
6.因为，所以，又因为，，所以，，所以.
7.设公差为d，则有整理得，
又由可得，所以解得，
8.由题意可知，模拟程序框图的运行过程，得到该程序框图运行的输出是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数，由茎叶图可知，.
9.由题意知平行四边形中，，，
得，
10.因为，
由正弦定理（2R为外接圆的直径），
可得，所以.
又因为，所以.即为等腰三角形.
11.∵的图象关于原点对称∴，，即
又∵的相邻两个对称轴之间距离为，∴，即
故，∴
根据正弦函数的单调性可得： ∴，（）.
12.设，.由消去y，得，
故，解得，且.
由，，且，3，成等差数列，
得，得，所以，解得又，故，
13.1和3
依题意，令，解得：或，
14.12
变量x，y满足约束条件作出其平面区域，
由解得，，；，
平移，当经过A时，z取得最大值，
故目标函数的最大值为；
15..
∵是奇函数，∴，
恒成立，∴，
时，的定义域均为R，满足题意，
16.
对，，且，恒有，即，所以函数是增函数，
设，，则在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故即；
17.由题意得：
（1）最小正周期：
（2）令（）
解得：（）
∴的单调递减区间为：（）
18.（1）证明：在中，由，，得.
又，∴，.
易证，∴，即，
又平面平面，平面平面，
，∴平面，而平面，∴，
由，，，，平面，知平面.
（2）由知，
而，
∴.
19.（1）由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为，
因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，
由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，
于是列联表为：
男生 女生 合计
防疫标兵 18 10 28
非防疫标兵 12 20 32
合计 30 30 60
则的观测值为，
所以有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关.
（2）由频率分布直方图知，，
由频数分布表知，，
由频率分布直方图知，成绩在的频率为0.40，成绩在的频率为0.75，因此，
则由，解得，
由频数分布表知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，
则由，解得，
所以，，，.
20.（1），，，又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
（3）由（2）知f（x）在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是–4.
21.（1）显然，不能同时在C上，
若，在C上，则.
故，在C上，则，，所以.
所以椭圆C的方程为.
（2）设，.
当时，设，，显然.
联立，则，即.
又P为线段的中点，故直线的斜率为.
又，所以直线的方程为，
即，显然恒过定点.
当时，过点.
综上所述恒过定点.
22.（1）解：直线l的直角坐标方程为，
根据转换为极坐标方程为，
曲线C的直角坐标方程为，即，
根据转换为极坐标方程为.
（2）解：设点M、N的极坐标分别为、，
射线（）与直线l：交于M点，故，
射线（）与曲线C：交于N点，故，
故.
23.（1），①解，得；
②时，恒成立；③解，得，
∴综上得，的解集为；
（2）∵，，∴，∴，
∴，
当且仅当即时取等号，
∴的最小值为.
