2023-2024学年人教版八年级数学上册《第15章分式》单元综合练习题
一．选择题
1．分式与的最简公分母是（ ）
A．abxyz B．abxy2z C．xyz D．xy2z
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．﹣b
5．分式方程的解为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．如果分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．﹣1 D．1
7．若分式中x，y都扩大为原来的2倍，分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的4倍 D．无法确定
8．计算2÷ （m2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣m2﹣2m﹣1 B．2（m﹣1）2 C．2m2﹣4m﹣2 D．﹣2m2+4m﹣2
9．用换元法解分式方程﹣+1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A．3y2﹣y+1＝0 B．3y2﹣y﹣1＝0 C．y2﹣y+1＝0 D．y2+y﹣3＝0
10．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题
11．分式与的最简公分母是 ．
12．当x＝ 时，分式的值为零．
13．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则依题意可列方程： ．
14．化简：＝ ．
15．已知，则A+B＝ ．
16．已知关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
17．若关于x的方程有增根，则a的值为 ．
18．已知x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，那么＝ ．
三．解答题
19．化简：
（1）；
（2）．
20．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）．
21．先化简，再求值：（﹣）÷（），再从﹣2，﹣1，0，2中选择一个合适的数a代入求值．
22．（1）观察下列算式：＝；；
，由此推断＝ ；
（2）请用含字母m的等式表示（1）的特点的一般规律；
（3）请用（2）中的规律解下面的方程：
．
23．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
24．甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米．
（1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
（2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时，若x＝10a，则哪一辆车先到达C城，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：分式与的最简公分母是xyz；
故选：C．
2．解：A、＝，故A错误；
B、＝0，故B正确；
C、，故C错误；
D、＝，故D错误．
故选：B．
3．解：A、不论x取什么值，分母x2+1＞0，分式有意义；
B、当x＝0时，分母x2＝0，分式无意义；
C、当x＝±时，分母x2﹣2＝0，分式无意义；
D、当x＝﹣3时，分母x+3＝0，分式无意义．
故选：A．
4．解：＝．
故选：B．
5．解：方程两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得
x（x﹣1）＝（x﹣3）（x+1），整理得x2﹣x＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣3．
经检验x＝﹣3是方程的解．故选D．
6．解：当x2﹣1＝0，x+1≠0，
x＝1或x＝﹣1，
x≠﹣1，
∴x＝1，
故选：D．
7．解：∵分式中x，y都扩大为原来的2倍，
∴分式的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，
∴分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
8．解：原式＝2× （m+1）（m﹣1）
＝2（1﹣m）（m﹣1）
＝﹣2（m﹣1）2
＝﹣2（m2﹣2m+1）
＝﹣2m2+4m﹣2，
故选：D．
9．解：﹣+1＝0，
设＝y，
则原方程化为y﹣+1＝0，
y2+y﹣3＝0，
故选：D．
10．解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，
依题意，得 ．
故选：A．
二．填空题
11．解：分式与的最简公分母是12a3bc，
故答案为：12a3bc．
12．解：由题意，得，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，
根据题意，得﹣＝1．
故答案为：﹣＝1．
14．解：＝＝2a．
故答案为：2a．
15．解：由可知：
＝+；
化简得：；
则3x＝Ax+Bx，即3x＝（A+B）x，
所以A+B＝3，
故答案为：3．
16．解：
去分母得：mx﹣2＝x﹣1，
移项得：mx﹣x＝2﹣1，
合并同类项得：（m﹣1）x＝1，
当m﹣1＝0，即m＝1时，则0＝1不成立，原方程无解，
当m﹣1≠0时，
∴，
∵关于x的分式方程无解，
∴分式方程有增根，即x＝1，
∴，
∴m＝2，
经检验，m＝2是原方程的解；
综上所述，m的值是1或2，
故答案为：1或2．
17．解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣3a＝3a（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，a＝1，
故a的值是1，
故答案为：1．
18．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，
∴，
两边同时平方得：，
整理得：，
∵，
∴．
故答案为：．
三．解答题
19．解：（1）
＝+a+2
＝a﹣2+a+2
＝2a；
（2）
＝
＝
＝3（1+x）
＝3+3x．
20．解：（1）去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，原分式方程无解；
（3）去分母得：3x﹣10＝x﹣5，
解得：x＝，
经检验是分式方程的解；
（4）去分母得：x（x+2）+2＝x2﹣4，
去括号得：x2+2x+2＝x2﹣4，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
21．解：[﹣]
＝
＝，
当a＝﹣2，0，2时，原式没有意义，
则当a＝﹣1时，原式＝﹣2．
22．解：（1）；
（2）；
（3）无实数根．提示：由原方程得﹣﹣（﹣）++＝，
解得：x＝2，当x＝2时，x﹣2＝0，
∴原方程无实数根．
23．解：设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x元/公斤，则该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格为2x元/公斤，
根据题意列方程得：．
解得：x＝2.5．
经检验：x＝2.5是原方程的根．
当x＝2.5时，2x＝5．
答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/公斤．
24．解：（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x﹣12）千米/时，
∵A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，两辆车同时到达C城，
∴＝，
解得x＝108，
x﹣12＝96．
答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时；
（2）∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时，x＝10a
∴乙车到达C的时间＝＝，甲车到达C的时间＝＝＝，
∵÷＝＜1，
∴乙车先到达C城．
