2021～2022学年度第一学期期末调研
高二数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知命题：“，”，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若，，且，则的最大值为（ ）
A.9 B.18 C.36 D.81
5.设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
6.在等差数列中，，则的值为（ ）
A.6 B.12 C.24 D.48
7.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A.30km B. C. D.
9.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则直线与平面所成的角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
11.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题.如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前10项和为（ ）
A.120 B.220 C.240 D.256
12.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A.20 B.16 C.9 D.8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为__________.
14.已知双曲线的一个焦点在直线上，则__________.
15.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若存在实数x，y，z，使得，则__________.
16.已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若，且，则椭圆C的离心率为__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
18.（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，且，.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和的最大值.
19.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
（I）求a，c的值；
（Ⅱ）求的值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆E于，两点，且的周长为8.
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线的斜率为，求的面积.
21.（本小题满分12分）
如图，且，，且，且，平面，，为的中点，为的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知过点的抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上.
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线：与抛物线C相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.
2021～2022学年度第一学期期末调研
高二数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D 9.A 10.A 11.B 12.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.4 14.16 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（I）当时，不等式等价于，
∴，解得或.
∴不等式的解集为.
（Ⅱ）不等式等价于，
∴不等式的解集为.
∴方程的两个根为-6和2.
∴，且.
∴实数的值为4.
18.解：（I）设等差数列的公差为，由题意得，解得.
故.
（Ⅱ）由（I）知，，
∴.
∴当时，取到最大值为.
19.解：（I）由已知及正弦定理得，又，
∴，.
（Ⅱ）由余弦定理可得.
∵，∴.
20.解：（I）由题意知，，∴，
又，∴，
∴.
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（I）易知，
∴直线的方程为，
由消去y得，解得，，
∴，.
∴.
21.解：∵，平面，
∴，，两两垂直.
以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，.
∴，，，.
（I）证明：∵为的中点，为的中点，
∴，.
∴.
设平面的法向量为，
则即
不妨令，可得.
∴，∴.
又平面，∴平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则即
不妨令，可得.
由（I）知，平面的一个法向量为.
∴，于是.
∴二面角的正弦值为.
22.解：（I）由题意可设抛物线：，
又抛物线过点，
∴，即.
∴抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：联立方程
消去得，其中恒成立，
∴，.
由题易知，，
∴
.
∴为定值，且该定值为-1.
