2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
1．（4分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．72° C．102° D．118°
4．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
5．（4分）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（4分）用大小相同的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个小等边三角形，第②个图案用了8个小等边三角形，第③个图案用了12个小等边三角形，第④个图案用了16个小等边三角形，…，若按此规律排列下去，则总共用了2024个小等边三角形的图案的序号数为（ ）
A．503 B．504 C．505 D．506
7．（4分）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．垂直于弦的直径平分这条弦
C．垂直平分弦的直线必经过圆心
D．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦
8．（4分）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在正方形ABCD的边BC上取一点E，连接AE并延长交DC的延长线于点F，将射线AE绕点A顺时针旋转45°后交CB的延长线于点G，连接FG，若∠AFD＝α，则∠CGF的大小是（ ）
A．α B． C．90°﹣2α D．60°﹣α
10．（4分）将五个互不相同的正整数a1，a2，a3，a4，a5沿圆周排成一圈，下列说法：
①不存在这样的五个数，使得任意三个相邻数的和相等；
②不存在这样的五个数，使得任意两个相邻数的和为奇数；
③若任意三个相邻数的和为3的倍数，则任意两个相邻数的差是3的倍数．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）若一个n边形的内角和正好是它的外角和的5倍，则n＝ ．
13．（4分）有三张背面完全一样、正面分别写有数字5，0，﹣5的卡片，若将它们背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的概率是 ．
14．（4分）《九章算术》中有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，则根据题意，可列方程为 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD是中线，过点A作AE⊥CD，垂足为点F，与BC相交于点E，若AC＝3，BC＝4，则CE的长是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，若以AB为直径画半圆，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则阴影部分面积为 ．（结果保留π）
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（4分）一个三位正整数M，当M的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，我们称这个三位数是“吉利数”．记M的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，并规定：F（M）＝3x﹣z．若M是最小的“吉利数”，则F（M）＝ ；若有两个“吉利数”M1＝，M2＝，其中a≠m，c≠n，且4F（M1）﹣5F（M2）＝4，则M1+M2的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分.）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）（x+y）2﹣2x（y﹣x）；
（2）．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝72°．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BF，交AC于点E，交CD于点F（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB＝FB．（思路是通过证明两个三角形全等得出对应线段相等，请补全下面的证明过程．）
证明：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°．
.∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝36°．
∵ ．
∴
∴∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝72°．
又∠ACB＝72°，
∴ ．
∴BE＝BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠BFC＝∠ABE＝36°
∴∠BAE＝∠BFC．
在△ABE和△FBC中，
，
∴△ABE≌△FBC（AAS），
∴AB＝FB．
21．（10分）近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分、160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
22．（10分）某公司不定期为员工购买红豆面包和肉松面包作为代餐食品．
（1）已知每个肉松面包的价格比每个红豆面包的价格贵2.5元，花费100元购买红豆面包的数量与花费150元购买肉松面包的数量相同，求红豆面包和肉松面包的单价各是多少元？
（2）若购买红豆面包和肉松面包共100个，要求肉松面包的个数不少于红豆面包的个数的一半，且总费用不超过590元，请问该公司有哪几种购买方案？
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．
24．（10分）如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的底座高AB＝1米，大臂由BC和CD两部分构成，其中BC＝3米，CD＝4米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°，此时测得大臂的前部BC与AB的夹角∠ABC＝140°，小臂DE与地面AM的夹角∠DEA＝45°．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）．
（1）求点C到地面AM的距离．（结果精确到0.1米）
（2）已知挖掘机A正前方10米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段？（结果精确到0.1米）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，在射线DC上取一点E，使得，连接PE，求△PDE面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB的方向平移个单位长度后得到新抛物线y'，点M是新抛物线与原抛物线的交点，点N是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定点Q，使得以A，M，N，Q为顶点的四边形是矩形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标其中一种情况的过程．
26．（10分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，△BDE是等边三角形．
（1）如图1，若∠ACB＝75°，点D为BC中点，且BD＝1，延长BE交AC于点F，求CF的长度；
（2）如图2，若∠ACB＝30°，点D在边BC上（不与点B、C重合），连接EC，取EC的中点G，连接AG、GD、DA．求证：；
（3）如图3，若∠ACB＝60°，点D在△ABC内部，且点E、D、C三点共线，连接DC，DA，当的值最大时，请直接写出tan∠DAC的值．
2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
1．【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
2．【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：B．
3．【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠1+∠E＝180°，
∵∠E＝118°，
∴∠1＝62°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1＝62°．
故选：A．
4．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．OA：AD＝1：2，
∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∴△DEF的周长为3×3＝9．
故选：B．
5．【解答】解：
＝﹣
＝2﹣
＝，
∵32＝9，42＝16，而9＜15＜16，
∴3＜＜4，
即3＜＜4，
故选：C．
6．【解答】解：观察图形发现：
第①个图案用了4＝4×1个小等边三角形，
第②个图案用了8＝4×2个小等边三角形，
第③个图案用了12＝4×3个小等边三角形，
第④个图案用了16＝4×4个小等边三角形，
…，
第n个图案用了4n个小等边三角形，
当4n＝2024时，
解得：n＝506，
故选：D．
7．【解答】解：由垂径定理以及推论可知，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，所以A错误，B，C，D正确．
故选：A．
8．【解答】解：连接OB、DB，则OB＝OD＝2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2，
∴AB＝＝＝2，
故选：C．
9．【解答】解：在DC上截取DH＝BG，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°＝∠ABG，
在△ADH和△ABG中，
，
∴△ADH≌△ABG（SAS），
∴AG＝AH，∠DAH＝∠BAG，
∴∠DAB＝∠GAH＝90°，
∵将射线AE绕点A顺时针旋转45°后交CB的延长线于点G，
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠HAF＝45°，
又∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFH（SAS），
∴∠AGF＝∠AHF，
∵∠AFD＝α，
∴∠AHF＝180°﹣α﹣45°＝135°﹣α＝∠AGF，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AFD＝α，
∴∠BAG＝45°﹣α，
∴∠AGC＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，
∴∠CGF＝（135°﹣α）﹣（45°+α）＝90°﹣2α，
故选：C．
10．【解答】解：①任意三个相邻数的和相等，则这个和是5的倍数，但五个互不相同的正整数的和不可能是5的倍数，故①正确；
②取这五个数，若任意两个相邻数的和为奇数则奇数的个数为偶数，而五个互不相同的正整数中奇数的个数为奇数，矛盾，故②正确；
③若任意三个相邻数的和为3的倍数，则任意两个相邻数的和或差为3的倍数，故③不正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）
11．【解答】解：原式＝3+1
＝4．
故答案为：4．
12．【解答】解：由题意可得（n﹣2） 180°＝360°×5，
解得：n＝12，
故答案为：12．
13．【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的概率是，
故答案为：．
14．【解答】解：∵将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺，
∴水井深为（﹣4）尺；
∵将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺，
∴水井深为（﹣1）尺．
∴根据题意可列出方程：﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣4＝﹣1．
15．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∵CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACF＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD＝∠B，
又∠ACE＝∠BCA＝90°，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，
∴CE＝，
∵AC＝3，BC＝4，
∴CE＝，
故答案为：．
16．【解答】解：如图，连接DC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，
∴BD＝BC＝2，
∴△BCD是等边三角形，D为半圆的圆心，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣2S扇形BCD+S△BCD＝﹣2×+＝π+，
故答案为：π+．
17．【解答】解：不等式组的解为，
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴≥﹣2，
∴a≥﹣3，
方程的两边同时乘以y﹣1，得
1+（a﹣6）＝﹣2（y﹣1），
解得：y＝，
∵解为非负数，
∴≥0，
∴a≤7，
∴﹣3≤a≤7，
∵y≠1，
∴a≠5，
∴整数a的值为﹣3，﹣1，1，3，7，其和为7．
故答案为：7．
18．【解答】解：∵M是最小的“吉利数”，M的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，
∴x﹣6＝y﹣z，
当x＝1，y＝0时，z＝5，
即M的最小值为105，
∴F（M）＝3×1﹣5＝﹣2；
∵有两个“吉利数”M1＝，M2＝，其中a≠m，c≠n，且4F（M1）﹣5F（M2）＝4，
∴a﹣6＝b﹣c①；m﹣6＝b﹣n②；4（3a﹣c）﹣5（3m﹣n）＝4③，
由①②③可得，，
∴M1+M2＝100a+10b+c+100m+10b+n
＝100（m﹣n+）+20（m+n﹣6）﹣m+n﹣+100m+n
＝m+n﹣
＝238m+15n﹣95+m+n﹣；
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
分别将m，n代入上式，可得当m＝6，n＝6时，M1+M2的值为整数，
当m＝7，n＝9时，M1+M2的值为整数，此时b＝10，舍；
∴M1+M2的最大值为1431；
故答案为：﹣2；1431．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分.）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．【解答】解：（1）原式＝x2+2xy+y2﹣2xy+2x2
＝3x2+y2；
（2）原式＝
＝
＝．
20．【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°．
.∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝36°．
∵BE平分∠ABC，
∴
∴∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝72°．
又∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠BCE．
∴BE＝BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABE＝36°
∴∠BAE＝∠BFC．
在△ABE和△FBC中，
，
∴△ABE≌△FBC（AAS），
∴AB＝FB．
故答案为：BE平分∠ABC，∠BEC＝∠BCE，AB∥CD，BE＝BC．
21．【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣×100%＝15%，即a＝15，
把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89，故中位数b＝＝88.5，
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数c＝98；
故答案为：15，88.5，98；
（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）200×10%+160×＝44（名），
答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有44人．
22．【解答】解：（1）设红豆面包的单价是x元，则肉松面包的单价是（x+2.5）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴x+2.5＝5+2.5＝7.5．
答：红豆面包的单价是5元，肉松面包的单价是7.5元；
（2）设该公司购买m个红豆面包，则购买（100﹣m）个肉松面包，
根据题意得：，
解得：64≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为64，65，66，
∴该公司共有3购买方案，
方案1：购买64个红豆面包，36个肉松面包；
方案2：购买65个红豆面包，35个肉松面包；
方案3：购买66个红豆面包，34个肉松面包．
23．【解答】解：（1）∵菱形ABCD，AB＝6，∠A＝60°，
∴AD+DC＝AB+BC＝12，∠A＝∠C＝60°，
∴总的运动时间为：12÷2＝6秒，
当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0＜x≤3时，连接PQ，
由题意得AP＝AQ，∠A＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴y＝AP＝2x；
当点P在CD，点Q在CB上运动时，即3＜x≤6时，如图所示：△CPQ是等边三角形，
∴CP＝12﹣2x，
∴y＝12﹣2x；
综上可得：y＝；
（2）当x＝0时，y＝0，当x＝3时，y＝6，当x＝12时，y＝0，
函数图象如图：
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤6时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）从图象看，当y≤4时x的取值范围为：0≤x≤2或4≤x≤6．
24．【解答】解：（1）过点C，D分别作CF⊥AE，DM⊥AE，F，M分别为垂足，
再过点B，C分别作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H为垂足，如图所示：
∵AB⊥AE，CF⊥AE，
∴AB∥CF，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠BCF＝40°，
在Rt△BC中，cos∠BCF＝，sin∠BCF＝，
∴BN＝BC sin40°≈3×0.64＝1.92（米），
CN＝BC cos40°＝3cos40°＝3×0.77＝2.31（米），
∴CF＝CN+NF＝CN+AB≈2.31+1≈3.3（米），
∴点C到地面AM的距离3.3米；
（2）∵CF⊥AE，DM⊥AE，CH⊥DM，
∴CF＝MH，CH＝FM，CH∥FM，
∵∠BCD＝140°，∠BCF＝40°，∠FCH＝90°，
∴∠DCH＝10°，
在Rt△CHD中，CD＝4米，
sin∠DCH＝，cos∠DCH＝，
∴CH＝CD cos10°≈4×0.98≈3.92（米），
DH＝CD sin∠DCH＝4sin10°≈4×0.17＝0.68（米），
∴DM＝DH+HM＝DH+CF≈0.68+3.3＝3.98（米），
∵∠DEA＝45°，DM⊥AE，
∴△DMC为等腰直角三角形，
∴EM＝DM≈3.98（米），
∴AE＝AF+FM+ME＝BN+CH+DM≈1.92+3.92+3.98＝9.82≈9.8（米），
∵9.8＜10，
∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段．
25．【解答】解：（1）抛物线过点A（﹣1，0），且抛物线的对称轴为直线，则点B的坐标为：（4，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2①；
（2）由抛物线的表达式知，点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2，则BC＝＝2，
则DE＝BC＝，
如下图，则tanα＝＝2，则sinα＝，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，则∠PHN＝α，
则PD＝PHsinα＝PH，
设点P（x， x2﹣x﹣2），则点H（x， x﹣2），
则PH＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
则△PDE面积＝PD×DE＝PH×＝PH＝（﹣x2+2x），
∵＜0，故△PDE面积有最大值，
当x＝2时，△PDE面积的最大值为，此时点P（2，﹣3）；
（3）抛物线沿射线CB的方向平移个单位长度，相当于抛物线向左平移了2个单位向下平移了1个单位，
则平移后的抛物线的表达式为：y′＝（x+2）2﹣（x+2）﹣2﹣1＝x2+x﹣4②；
联立①②得： x2﹣x﹣2＝x2+x﹣4，
解得：x＝1，
则点M（1，﹣3）；
由平移后的抛物线表达式知，其对称轴为直线x＝﹣，设点N（﹣，n），
设点Q（s，t），
当AM是对角线时，由中点坐标公式和AM＝NQ得：
，解得：，
则点Q的坐标为：（，）或（，）；
当AQ或AN为对角线时，由中点坐标公式和AQ＝MN或AN＝MQ得：
或，
解得：或，
即点Q的坐标为：（，﹣）或（﹣，﹣4），
综上，点Q的坐标为：（，）或（，）或（，﹣）或（﹣，﹣4）．
26．【解答】（1）解：连接CE，
∵△BDE为等边三角形，
∴BD＝BE＝1，∠DBE＝60°，
∵点D为BC中点，
∴BC＝2BD＝2，
∴△BCE为直角三角形，
∴∠BEC＝90°，
由勾股定理得：CE＝，
∵AB＝AC，∠ACB＝75°，
∴∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠A＝30°，∠ABF＝15°，
∴∠CFE＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝EF＝，
在Rt△CEF中，CF＝．
故答案为：．
（2）证明：延长AG至点H，使得GH＝AG，连接EH、HD，
∵G为EC的中点，
∴CG＝EG，
∵∠ACG＝∠EHG，
∴△EHG≌△CAG（SAS），
∴EH＝CA＝AB，∠HEG＝∠ACG，
∵△BDE是等边三角形，∠ACB＝30°，
∴∠DEC+∠DCE＝∠EDB＝60°，
∴∠DEH＝∠DEC+HEG＝∠DEC+∠ACG＝30°，
∴∠HED＝∠ABD＝30°，
∴△HED≌△ABD（SAS），
∴AD＝HD，∠ADH＝∠BDE＝60°，
∴△ADH为等边三角形，
∴DG⊥HD，
在Rt△ADH中，∠ADG＝30°，
∴DG＝．
（3）解：tan∠DAC＝．
∵△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°，
∵点E、D、C三点共线，
∴∠BDC＝120°，
∴点D的运动轨迹是圆弧，
过B、D、C作圆，延长AD交圆于点P，连接CP、BP，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DBC+∠DCB＝60°，∠DCB+∠ACD＝60°，
∴∠DBC＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△APC，
∴∠ADC＝∠ACP，，即，
∴当的值最大时，的值最大，
∵AC为定值，
∴当PC为直径时为最大值，
∴∠PDC＝∠PBC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACP＝90°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠BPC＝60°，
∴tan∠DAC＝＝＝．
故答案为：．
