菏泽市部分中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. -5 B. 1 C. D. 3
3. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，则线段的长度为（ ）
A. B. 3 C. D. 9
4. 在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A. 0 B. -6 C. 6 D. 5
6.在四面体中，点满足，为的中点，且，则实数 （ ）
A. B. C. D.
7. 在长方体中， ，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 点关于原点对称的点是
B. 点关于轴对称的点是
C. 点关于平面对称的点是
D. 点关于点对称的点是
10. 已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若，则
D. 若所在直线两两共面，则共面
11. 在平行六面体中，，，若，其中，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点在平面内，则
B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，长度的最小值为
12. 已知抛物线是，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为 B.
C. 直线的斜率为 D. 直线的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，若，则_____________.
14. 试写出一个点的坐标：___________，使之与点三点共线（与，不重合）.
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是____________.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知空间向量.
（1）求；
（2）判断与以及与的位置关系.
18.（本小题满分12分）
已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，在四面体中，，点分别在棱上，且，.
（1）用表示；
（2）求异面直线所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
在矩形中，，点是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.
参考答案
1. A ，故选A
2. B 由两直线平行，得，解得.当时，直线与直线平行，故，故选B.
3. A 由是上一点，得，解得，所以，故选A.
4. A 不妨设，由题意可知，所以，所以，解得，所以点的坐标为.故选A
5. C ，所以，解得，所以.故选C
6. D 由为的中点，得，又，所以，由，得，即，所以，故选D.
7. D 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，则，设是平面的一个法向量，则，令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D
8. B 将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，所以，，所以，则.设直线与直线所成角为，则，即，解得或（舍），故选B.
9. AC 点关于原点对称的点是，A正确；点关于轴对称的点是，B错误；点关于平面对称的点是，C正确；点关于点对称的点是，D错误，故选AC.
10. ACD 由空间向量基本定理，可知只有当不共面时，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则不共面，也不共面，所以 也是空间的一个基底，故B正确；若，则不一定平行，故C错误；若所成直线两两共面，则不一定共面，故D错误，故选ACD.
11. ABD 对于选项A，若点在平面内，易知有，所以，又，则，故A正确；对于选项B，由题意易知，，且，又，即，故，解得，故B正确；对于选项C，由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，则为的中心，不难求得.当时，到平面的距离为，所以，故C错误；对于选项D，，又，由基本不等式可知，所以，即，当且仅当时等号成立，所以长度的最小值为，故D正确，故选ABD.
12. BCD 因为在准线上，所以准线方程为，所以，抛物线的方程为，故A错误；设直线，代入，得，当直线与相切时，，即，设的斜率分别为，易知是上述方程的两根，故，所以，故B正确；设，则分别是方程，的根，所以，所以，故C正确；，，所以的中点为，直线的方程为，即，故D正确，故选BCD.
13. 由，得，解得.
14. （满足即可），设，由三点共线，得，即，故，即，不妨令，则，故此时点的坐标为.
15. 设椭圆的上顶点为，则，所以，又，所以，即的离心率的取值范围是.
16. 取的中点为，连接，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，得，所以，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为.
17. 解：（1），
所以；
（2）因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
18. 解：（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或.
19. 解：（1）因为点分别在棱上，且，所以，
所以，
.
（2）因为，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
即异面直线所成角的余弦值为.
20. （1）证明：由直棱柱的性质得平面，又平面，所以，
因为，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：
由（1）可知，两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设为平面的法向量，则
即，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）证明：设的中点为，连接和，
因为点分别为的中点，所以且，
在矩形中，点是线段的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）解：在矩形中，，设，则，所以，
即，取的中点，取的中点，连接，所以，
因为，点是线段的中点，所以，即，又为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以》
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，
设平面的法向量为，又，
则，即，令，则，所以平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，又，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，，则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
22.解：（1）设，则，
所以，即，
故曲线的方程为；
（2）根据题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由消去并整理得，
，
设，则，
因为，
所以可设直线的方程为，①
直线的方程为，②
所以直线的交点的坐标满足.
而，
因此，即点在定直线上，且定直线的方程为.
