张家港市重点中学2023-2024学年高二上学期12月自主学习能力测试
数学学科试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）
A.12 B.24 C.10 D.
3.已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
4.已知数列的前项和为，，则（ ）
A.1012 B. C.2023 D.
5.已知是等比数列的前项和，且，，则（ ）
A.11 B.13 C.15 D.17
6.已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
7.已知圆，直线，若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A.若为椭圆，则的取值范围是
B.若为双曲线，则的取值范围是或
C.曲线可能是圆
D.若为椭圆，且长轴在轴上，则的取值范围是
10.设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.
C. D.数列中最大项为第6项
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，，，为双曲线上不同的三点，且，两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A.
B.双曲线的离心率为
C.直线倾斜角的取值范围为
D.若，则三角形的面积为2
12.已知点，在圆上，点在直线上，则（ ）
A.直线与圆相离
B.当时，的最小值是
C.当，为圆的两条切线时，为定值
D.当，为圆的两条切线时，直线过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的焦点坐标为________.
14.已知椭圆的离心率等于，则实数________.
15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为________.
16.已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的直线与圆相交于，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程.
18.已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.在平面直角坐标系中，已知点，，坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点.
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值.
20.已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2.
（1）求抛物线的方程和点坐标；
（2）过点的直线交抛物线于、，若的角平分线与轴垂直，求弦的长.
21.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.
22.若双曲线的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合），
（1）求直线的倾斜角的取值范围；
（2）在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
张家港市重点中学2023-2024学年高二上学期12月自主学习能力测试
数学学科试卷
一、单项选择题：
1.B B D D C A D A
二、多项选择题：
9.BC 10.BCD 11.ABD 12.ABC
三、填空题：
13.
14.8或
15.
16.【详解】由题意知，，，且，
则当时，，
两式相减得，∵，∴
所以，
而，即
又，解得，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，
则，
，
，
数列是单调递增的，，，
而数列是单调递减的，，，
因为，不等式恒成立，
则，不等式且恒成立，
因此且，即有，
又，所以的最小值是1.
故答案为：1
四、解答题：
17.已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的直线与圆相交于，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，求直线'的方程.
【小问1详解】
设圆的半径为，由题意知，圆心到直线的距离为，即，
所以圆的方程为；
【小问2详解】当直线与轴垂直时，直线方程为，即，
点到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设，即，取的中点，连接，则，
因为，所以，
又点到直线的距离为，
所以，解得，所以直线方程为.
综上，直线的方程为或.
18.已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）①，当时，②，
两式①-②得：，当时，，不符合上式，所以；
（2）令，所以，故，
设①，则②，
所以①-②得：
，化简可得，故，
19.在平面直角坐标系中，已知点，，坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点.
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值.
【答案】解：（1）∵点，，坐标分别为，，，
∴当时，易知直线的方程为，所以，
∴直线的方程为①，又直线的方程为②，
①②联立方程组得，所以直线的方程为，
（2）易知直线的方程为，
设，直线的方程为，所以，因为在轴负半轴上，
所以，，，
令，则，（当且仅当时取等号），
当时，，答：的最小值为.
20.（1）由可得：，故抛物线方程为：，
当时，，
又因为，所以，所以点坐标为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为，，，
由，得，所以，，，
因为的角平分线与轴垂直，所以，所以，即，
即，所以，，，
所以.
21.【详解】解：（1）由题意可知，，，则解得，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线一定存在斜率，设斜率为，设直线的方程为，
联立消去并化简得：，
∵，∴，
设、，则，，，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，
当直线与轴相交时，
则
，
∴直线与轴相交于定点
22.【详解】（1）双曲线的方程为.
（2）①（i）当直线斜率存在时，设直线，，，
联立，整理得：，
由题得：
解得或，此时，直线的倾斜角的范围为.
（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.综上可知，直线的倾斜角的范围为.
②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，
由（2）①得：，
又，得
，上对于任意的都成立，
所以，解得：或，
即当坐标为时，；当坐标为时，.
（ii）当直线斜率不存在时，此时，.
当坐标为时，；当坐标为时，.
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.
