2022~2023学年江苏省苏州市相城区相城区春申中学八年级上学期月考数学试卷(10月)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.实数：，，，，，，，中，有理数的个数是
( )
A. B. C. D.
3.下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如图，点，在上，，，要使≌，还需要添加的一个条件是( )
A. B. C. D.
5.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点
6.如图，中，，，．为的角平分线，的长度为
( )
A. B. C. D.
7.如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为，，之间的距离为，则的长是
( )
A. B. C. D.
8.如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.的平方根是 ．
10.已知直角三角形的两边长分别为、则第三边长为 ．
11.奥运会火炬接力手达到人，这个数精确到百位表示约为 人用科学记数法表示．
12.已知一个正数的平方根是和，则这个数是 ．
13.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接，则的度数为___ __．
14.如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若，，则的周长是 ．
15.如图，一个长为米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则线段的长为 米．
16.如图，在中，以为直角边向外作，分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，，已知，，，则为 ．
17.如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是 ．
18.如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19. 计算题．
；
．
20.求下列各式中的值．
．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知的 立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
22.本小题分
已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：．
23.本小题分
若实数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简．
24.本小题分
如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论．
25.本小题分
世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树高是米，另外一棵点高米；与树干间的距离是米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．
问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 有多远？
求的最小值 ．
26.本小题分
等腰中，，．
如图，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．
求证：；
当，时，求的长；
如图，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，求的长__画出图形，做必要标记，不必写过程．
27.本小题分
某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
如图，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由；
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连接，，若，，，求的长．
如图，在四边形中，连接，，，，，，求的长__画出图形，做必要标记，不必写过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由图形可知、、为轴对称图形，不是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的定义即可进行解答．
本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形．
2.【答案】
【解析】解：实数： ， ， ， ， ， ， ， 中，
无理数有： ， ， ， ，
有理数有： ， ， ， ，
有理数的的个数是．
故选：
利用无理数和有理数的概念逐一判断即可．
本题考查了无理数和有理数的概念，熟练掌握无理数和有理数的概念是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：
能作为直角三角形的三边，故A不符合题意；
能作为直角三角形的三边，故B不符合题意；
能作为直角三角形的三边，故C不符合题意；
不能作为直角三角形的三边，故D符合题意；
故选：
勾股定理的逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形”是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：当时，
在和中
，
≌，
故选B．
利用全等三角形的判定，得出当时，≌．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
5.【答案】
【解析】解： 根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：．
根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断．
本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
6.【答案】
【解析】解：过点 作 于 ，
，，．
，，
，
是直角三角形，
为的角平分线，
在和中，
．
，
，
在中，，
，解得．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到两边的距离相等以及勾股定理即可进行解答．
本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式求解．
7.【答案】
【解析】解：作于，作于，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理，得 ，
在中，根据勾股定理，得 ，
故选：．
过、点作的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出，由勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出．
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．
8.【答案】
【解析】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，交于，于，连接、，
，，，，，
，即为周长的最小值，
，，，，
，
，
，
．
故选：．
如图，分别作点关于、的对称点、，连接，交于，于，连接、，根据轴对称的性质可得，，，，，可得，可知为周长的最小值，根据可得，根据根据勾股定理求出的长即可得答案．
本题考查了轴对称最短路径问题及勾股定理，正确作出辅助线，确定、的位置并得出是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：，
的平方根是．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的一个平方根．本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
10.【答案】 或
【解析】解：长为的边是直角边，长为的边是斜边时，
第三边的长为： ；
长为、的边都是直角边时，
第三边的长为： ；
第三边的长为： 或，
故答案为： 或．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
11.【答案】
【解析】解： 人，这个数精确到百位表示约为 人．
故答案为 ：
用科学记数法 ， 是正整数表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
本题考查近似数和科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．
12.【答案】
【解析】根据题意可知：，解得，
所以，，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：中，，，
．
直线是线段的垂直平分线，
，
．
故答案为：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
米，
故答案为：．
梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
16.【答案】
【解析】解：以，，，为直径向外作半圆的面积分别为，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
先根据圆的面积公式将、、、分别用含、、、的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果．
此题考查勾股定理及其应用，解题的关键在于把握题中的隐含条件，即，需根据勾股定理进行适当推导才能得出这一结果．
17.【答案】
【解析】解：过点作于，延长到，使，连接，交于
，连接，此时的值最小．
连接，由对称性可知，
，
，，
，
是边的中点，
，
根据勾股定理可得
故答案为：．
首先确定的值最小然后根据勾股定理进行计算可得．
本题考查了线路最短的问题，确定动点的位置时，使的值最小是关键．
18.【答案】
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
， ，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
当 时， 与 重合，则 最大为，
即 的最大值为，
故答案为：．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，可证得 ，再根据四边形 是矩形，可得 ，从而得到 ，然后根据 ，可得 ，然后根据勾股定理可得 ，再由当 时， 与 重合，则 最大为，即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】【小题】
解：原式
；
【小题】解：原式
．
【解析】 直接利用算术平方根、立方根的性质及零指数幂的运算法则分别化简，进而计算得出答案；
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
根据算术平方根、绝对值的性质及负指数幂的运算法则进行计算即可
20.【答案】【小题】
，
，
，
【小题】，
【解析】 根据平方根的定义，直接开平方求解即可；
根据立方根的定义，直接开立方求解即可．
本题考查了平方根和立方根，掌握其定义和性质是解题的关键．
21.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，
解得：．
是的整数部分，
，
，
的平方根是
【解析】利用立方根、算术平方根的定义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
此题考查立方根、平方根，算术平方根的定义，无理数的估算方法，掌握相关定义是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，，
，
，
在和中，
．
【解析】由可得、，再结合可得，然后根据即可证明结论．
本题主要考查了全等角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用全等三角形
的判定定理是解答本题的关键．
23.【答案】解：由数轴可知：，，，
原式
【解析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别化简即可得解．
本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的性质，熟练掌握相应的性质是解题的关键．
24.【答案】解：．
证明如下：连接、，如下图，
是的平分线，且于，于
于，是的中点，
，
，
【解析】连接、，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得、，然后
借助“”证明，由全等三角形的性质可证明
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出
辅助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．
25.【答案】【小题】
解：由题意得：米，米，米，
设为米，则为米，
在和中，
，，
又，
，
，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有米远
【小题】
【解析】 设为米，则为米，在和中，由勾股定理得出，，根据，列出方程，解方程即可求解
构造图形如图所示，于，于，其中，，
，点是上一点，设，则，作点关于的对称点，过作，交
的延长线于，则，，，，
，，
，
当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，
此时，，
的最小值为，
故答案为：．
本题考查了勾股定理的应用，根据题意将问题转化为两点之间线段最短是解题的关键．
根据的方法，构造图形如图所示，于，于，其中，，，点是上一点，同理当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
26.【答案】【小题】
证明：如图中，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
．
解：如图中，设 ，则 ．
， ，
，
，
，
，
，
在 中，
， ，
，
解得 ，
．
【小题】
当点 在线段 上时，如图中，连接 ．
，
，
， ，
，
， ，
，
，
．
当点 在 的延长线上时，如图中，连接 ．
同法可证 是直角三角形， ， ，
，
，
综上所述， 的值为 或 ．
【解析】
想办法证明 ，由 ， ，即可证明．
如图中，设 ，则 在 中，由 ， ，推出 ，解方程即可．
分两种情形当点在线段 上时，如图中，连接 由 ，推出 ， ，推出 ，推出 ，即可解决问题．
当点在 的延长线上时，如图中，同法可得 ，即可解决问题．
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27.【答案】【小题】
猜想： ，理由如下：
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
；
【小题】
等腰 和等腰 中， ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
；
【小题】
如图，连接 ，
， ，
是等边三角形，
把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， 是等边三角形，
， ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
．
故答案为：．
【解析】 利用 证明 从而得到 ；
利用 证明 从而得到 ，利用勾股定理求出 ，从而求出 即 ；
连接 ，由 ， 可知 等边三角形，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 则 ， 是等边三角形，从而得到 ，利用勾股定理得 ，从而得到 ．
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手模型并正确作出辅助线是解题的关键．
第1页，共1页
