18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023湖南衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
2.(2023福建莆田期末)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD∥BC,AB∥DC B.AD∥BC,AB=CD
C.AD=BC,AB=CD D.OA=OC,OB=OD
3.已知△ABC(图1),根据图2、图3所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
图1 图2 图3
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
二、填空题
4.如图,当AO=OC,BD=6 cm,OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形.
5.(2023安徽芜湖一中月考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=9,BC=15,点D、E分别为AB、BC的中点,点F在CA的延长线上,且∠FDA=∠BAE,则四边形AFDE的周长为 .
6.(2023山东临沂期中)在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件:①BD∥CF;②DF=BC;③BD=CF;④∠B=∠F.其中能使四边形BCFD是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
7.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=8,E是BC的中点,点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发,沿AD向点D运动,点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P停止运动时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t= 时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题
8.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.求证:
(1)△BOE≌△DOF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
9.(2023河北廊坊期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F分别为垂足.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如果AE=3,EF=4,求AF、EC所在直线之间的距离.
10.(2023浙江金华期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,且OA=OC,过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)连接BE,若∠BAD=100°,∠DBF=2∠ABE,求∠ABE的度数.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C A.因为AD∥BC,AD=BC,所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形,故A不符合题意;
B.因为AD∥BC,AB∥CD,所以由两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形,故B不符合题意;
C.由一组对边相等,另一组对边平行不能判定四边形ABCD是平行四边形,故C符合题意;
D.因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD,因为∠A=∠C,BD=DB,所以△ABD≌△CDB(AAS),所以AD=CB,所以四边形ABCD是平行四边形,故D不符合题意.
故选C.
2.答案 B A.∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
B.由AD∥BC,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
C.∵AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
D.∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意.
故选B.
3.答案 B 由题图可知,先作AC的垂直平分线,再连接AC的中点O与B点,并延长BO至点D,使OD=BO,所以AO=OC,BO=OD,所以四边形ABCD是平行四边形,故选B.
二、填空题
4.答案 3
解析 当OB=3 cm时,四边形ABCD是平行四边形.理由如下:
∵BD=6 cm,OB=3 cm,
∴OD=BD-OB=3 cm,∴OD=OB,
又∵AO=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.答案 24
解析 ∵∠BAC=90°,AC=9,BC=15,
∴AB=12,
∵点D、E分别为AB、BC的中点,
∴DE∥AC,DE=AC=4.5,AD=AB=6,
∵∠BAC=90°,∴∠EDA=90°,∴AE==7.5,
∵∠FDA=∠BAE,∴AE∥DF,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴四边形AFDE的周长=2ED+2AE=9+15=24.
6.答案 ①②④
解析 ①∵BD∥CF,DE∥BC,
∴四边形BCFD为平行四边形,故①符合题意;
②∵DF∥BC,DF=BC,
∴四边形BCFD为平行四边形,故②符合题意;
③由DF∥BC,BD=CF不能判定四边形BCFD为平行四边形,故③不符合题意;
④∵DE∥BC,∴∠B+∠BDF=180°,
∵∠B=∠F,∴∠F+∠BDF=180°,∴BD∥CF,
∴四边形BCFD为平行四边形,故④符合题意.
综上所述,能使四边形BCFD是平行四边形的是①②④.
7.答案 1或
解析 因为AD∥BC,所以当PD=EQ时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形,当Q运动到E和C之间时,令-2t=3-t,解得t=1;当Q运动到E和B之间时,令2t-=3-t,解得t=.故当t=1或时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.故答案为1或.
三、解答题
8.证明 (1)∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,
∵O为AC的中点,∴OA=OC,
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(AAS).
(2)∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD,
∵O是AC的中点,∴OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
9.解析 (1)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,∴AE∥CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,
又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形AECF是平行四边形,∴AF∥EC,
设AF、EC所在直线之间的距离为h,
∵AE⊥BD,∴∠AEF=90°,∴AF==5,
∵S四边形AECF=AE·EF=AF·h,
∴h==2.4,∴AF、EC所在直线之间的距离是2.4.
10.解析 (1)证明:∵AD∥BC,∴∠OAD=∠OCB,
在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA),∴AD=CB,
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)设∠ABE=x,则∠DBF=2x,
由(1)得四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD,
∵EF⊥BD,∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB,
∵AD∥BC,∴∠EDB=∠DBF,
∴∠EBD=∠EDB=∠DBF=2x,
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB=180°,
∴100°+x+2x+2x=180°,
解得x=16°,即∠ABE=16°.18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 三角形的中位线
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023广东湛江期中)△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,D、E分别为AB、BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.DE=2 B.DE=2.5 C.DE=3 D.DE∥BC
2.(2023湖南长沙一中期末)为了更好地开展劳动教育,实现五育并举,某校开设了劳动实践课程.该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔A,B两点之间的距离,该实践小组所画的示意图如图,先在湖边确定一点O,再用卷尺分别确定OA,OB的中点C,D,最后用卷尺量出CD=10 m,则A,B之间的距离是( )
A.5 m B.10 m C.15 m D.20 m
3.(2023湖北荆州期末)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,连接GE,EH,HF,FG,AB=CD,∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠GEF的大小是( )
A.25° B.30° C.45° D.35°
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是20,则△BCD的周长为( )
A.30 B.40 C.50 D.60
二、填空题
5.(2023吉林长春实验中学期末)如图,△ABC的周长为26 cm,中位线EF=3 cm,中位线DF=6 cm,则中位线DE的长为 cm.
6.(2023广东惠州期末)如图,在△ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连接DE,EF,则四边形ADEF的周长为 .
7.如图,点E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点,∠ABC的平分线BD交EF于点D,BC=8,DF=1,则BE的长为 .
8.(2023辽宁丹东期末)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=4,则△ABC的周长是 .
9.(2022辽宁本溪期末)如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,若AB=CD=2,则四边形ENFM的周长是 .
三、解答题
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC上的点,连接BE、DE,∠ADE=∠AED,点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点,连接FG,FH.求证:FG=FH.
11.(2023河北唐山期末)如图,等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD,EF.
(1)求证:DE=CF;
(2)求四边形DEFC的面积.
12.(2023河北石家庄期末)【探索】如图1,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,直接写出DE和BC的关系;
【应用】如图2,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数;
【拓展】如图3,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG,求证:BD=AC.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C ∵D、E分别为AB、BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AC=3,DE∥AC,
故选C.
2.答案 D ∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴CD是△ABO的中位线,∴AB=2CD,
∵CD=10 m,∴AB=20 m,故选D.
3.答案 A ∵E,G分别是AD,BD的中点,
∴EG是△ADB的中位线,
∴EG=AB,EG∥AB,
∴∠EGD=∠ABD=20°,
同理可得FG=CD,FG∥CD,
∴∠DGF=180°-∠BDC=110°,
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=130°,
∵AB=CD,∴EG=FG,
∴∠GEF=×(180°-130°)=25°,
故选A.
4.答案 B ∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴BO=DO=BD,OA=OC=AC,
∵点E是AB的中点,
∴AB=2BE,OE是△ABC的中位线,
∴BC=2OE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∴CD=2BE.
∵△BEO的周长为20,
∴OB+OE+BE=20,
∴△BCD的周长=BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=40,
故选B.
二、填空题
5.答案 4
解析 ∵△ABC的周长为26 cm,
∴AB+AC+BC=26 cm,
∵中位线EF=3 cm,中位线DF=6 cm,
∴BC=2EF=6 cm,AB=2DF=12 cm,
∴AC=26-6-12=8(cm),
∴中位线DE=AC=4 cm.
6.答案 9
解析 ∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴AD=AB=2,AF=AC=2.5,DE,EF是△ABC的中位线,
∴EF=AB=2,DE=AC=2.5,
∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=2+2.5+2+2.5=9.
7.答案 3
解析 ∵点E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,EF=BC=4.
∴∠EDB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,∴BE=ED.
∵DF=1,
∴BE=ED=EF-DF=3.
8.答案 43
解析 ∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠DAN,
在△ABN和△ADN中,
∴△ABN≌△ADN(ASA),
∴AD=AB=10,BN=DN,
∵M是△ABC的边BC的中点,
∴MN是△BCD的中位线,∴CD=2MN=8,
∴AC=AD+CD=10+8=18,
∴△ABC的周长=AB+BC+CA=10+15+18=43.
9.答案 4
解析 ∵点E是AD的中点,点N是BD的中点,
∴EN是△ABD的中位线,∴EN=AB.
同理,MF、EM、NF分别是△ABC、△ADC、△BCD的中位线,
∴EN=MF=AB=1,EM=NF=CD=1,
∴四边形ENFM的周长=EN+MF+EM+NF=4.
三、解答题
10.证明 ∵∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
又∵AB=AC,∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE,
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点,
∴FG是△EDB的中位线,FH是△BCE的中位线,
∴FG=BD,FH=CE,∴FG=FH.
11.解析 (1)证明:∵D、E分别为AB、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE=BC,
∵CF=BC,
∴DE=CF.
(2)如图,过点D作DH⊥BC于H.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∵AD=BD,
∴CD⊥AB,∠DCB=∠ACB=30°,
∵BC=4,BD=2,∴CD===2,
∵∠DHC=90°,∴DH=DC=,
∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥CF,
∵DE=CF=BC=2,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴S四边形DEFC=CF·DH=2×=2.
12.解析 【探索】DE∥BC,DE=BC.
理由:∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC.
【应用】连接BD,如图所示,
∵E、F分别是边AB、AD的中点,
∴EF∥BD,BD=2EF=4,
∴∠ADB=∠AFE=45°,
∵BC=5,CD=3,
∴BD2+CD2=25,BC2=25,
∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
【拓展】证明:取DC的中点H,连接MH、NH.
∵M、H分别是AD、DC的中点,
∴MH是△ADC的中位线,
∴MH∥AC且MH=AC,
同理可得NH∥BD且NH=BD.
∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF,
∵MH∥AC,NH∥BD,
∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,∴MH=NH,∴AC=BD.
