2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
3.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形长米，宽米场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所羽毛球，乒乓球如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
4.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积是( )
A. B. C. D.
6.形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形( )
A. 关于直线对称的两个图形 B. 两个正三角形
C. 两个等腰三角形 D. 两个半径不等的圆
7.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
8.下列条件中，能判定与相似的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，
9.如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有( )
四边形是矩形；
四边形是菱形；
四边形的周长是 ，
四边形的面积是 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解是______．
12.如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且：：，那么：等于______．
13.一元二次方程的一个根为，则______．
14.某鱼塘养了条草鱼、条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在左右若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ．
15.在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接若是直角三角形，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：
配方法；
任意方法．
17.本小题分
为庆祝建党周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取张，按照卡片上的曲目演唱．
七年一班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为______；
七年一班从张卡片中随机抽取张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，，是对角线上的两点，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的周长．
19.本小题分
已知：关于的一元二次方程
求证：无论取何值，方程都有实根；
若是该方程的一个根，求的值；
若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数．
20.本小题分
年月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，已知月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
若此头盔的进价为元个，经测算当售价为元个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元个？
21.本小题分
在等边三角形中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，、两点同时出发，它们移动的时间为．
用分别表示及的长度，______，______；
经过几秒钟后，为等边三角形？
若、两点分别从、两点同时出发，并且都按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇？
22.本小题分
月日上午，庆祝中国共产主义青年团成立周年大会在北京人民大会堂隆重举行，123 456 重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点、、在一条直线上，米，米，，已知，，，点、、、在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．
23.本小题分
【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即比较两边系数可得： ______， ______．
任务：
填空： ______， ______．
小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根 ______， ______．
已知关于的方程的两根之和与两根之积的和等于，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.是二元二次方程，故该选项不符合题意；
C.该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
D.是一元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此解答即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；
B.对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；
C.对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；
D.对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；
故选：．
根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．
本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为和，
所以方程为，
，
故选：．
如果设休闲娱乐中心的宽度为米，绿化带的长和宽就应该分别为和，根据题意可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
此方程无实数根，
故选：．
求出此方程判别式的值，即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5.【答案】
【解析】解：菱形的两条对角线的长分别是和，
这个菱形的面积是：．
故选：．
由菱形的两条对角线的长分别是和，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线乘积的一半是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、关于直线对称的两个图形全等，
它们是相似图形，本选项不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
它们是相似图形，本选项不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
它们不一定是相似图形，本选项符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；
故选：．
根据相似图形的概念判断即可．
本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以成比例，符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以不成比例，不符合题意．
故选：．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
8.【答案】
【解析】解：当，时，∽，所以选项错误；
当，时，∽，所以选项错误；
当，时，∽，所以选项正确；
当，，时，可判定与相似，所以选项错误．
故选：．
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对选项A，进行判断；根据勾股定理和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可对选项C进行判断；根据两角分别相等的两个三角形相似对选项D进行判断．
此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
9.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
平分，，
如图，作点关于的对称点，连接，则，
，
点，点，点三点共线且时，的最小值为，
过点作于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
作点关于的对称点，连接，则，当点，点，点三点共线且时，的最小值为，即可求解．
本题考查了菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题的关键是得到的最小值为菱形中边的高．
10.【答案】
【解析】解：连接，．
在四边形中，顺次连接四边形 各边中点，得到四边形，
，，，；
，，
四边形是平行四边形；
丄，四边形是矩形，
矩形的两条对角线相等；
中位线定理，
四边形是菱形；
故本选项错误；
由知，四边形是菱形；
根据中位线定理知，四边形是菱形；
故本选项正确；
根据中位线的性质易知，，，
四边形的周长是，
故本选项正确；
四边形中，，，且丄，
；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形的面积是，
故本选项正确；
综上所述，正确．
故选：．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
根据矩形的判定与性质作出判断；
根据菱形的判定与性质作出判断；
由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；
根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
11.【答案】，．
【解析】解：，
，，
，．
故答案为，．
根据因式分解法直接解答．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例根据平行线分线段成比例定理，由得到：：：，则利用比例性质得到：，然后利用可得到：．
【解答】
解：，
：：：，
：：，
，
：：：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：一元二次方程的一个根为，
且，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫一元二次方程，其一般式为也考查了一元二次方程的解的定义．
14.【答案】
【解析】解：捕捞到鲫鱼的频率稳定在左右，
设鲫鱼的条数为，可得：；
解得：，
捞到草鱼的概率为，
故答案为：．
根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．
15.【答案】或
【解析】解：当，时，延长交于点，如图，
四边形是平行四边形，由折叠得到，
，，，
，
，
，
，，
，
，
是的中点，
在中，
，
；
当时，如图，设交于点．
，，
，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，当的长为或时，是直角三角形．
故答案为：或．
在 中，，要使是直角三角形，有两种情况：或，画出图形，分类讨论解答即可．
本题考查翻折变换的性质，解答时涉及，翻折的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．
16.【答案】解：，
，
，
，
或，
所以，；
．
．
，
，．
【解析】根据配方法的要求进行解答即可；
公式法解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解法，灵活一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：七年一班随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为．
【解析】直接利用概率公式求解即可；
根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】证明：连接交于点，如图所示：
在正方形中，，且，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
四边形是菱形，
四边形的周长为．
【解析】连接交于点，根据正方形的性质，可得，，根据，可得，即可得证；
根据已知条件，可得，，根据勾股定理可得的值，即可求出菱形的周长．
本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】证明：当时，
方程，
，
，
当时，，
解得．
无论取何值，方程都有实根；
把代入方程得，
解得．
故的值；
解：，
，，，
运用公式法解方程可知道此方程的根为，
此方程的两个根分别为，，
方程的两个实根均为正整数，
，，．
【解析】根据一元二次方程的定义得，再计算判别式得到，然后根据非负数的性质即的取值得到，则可根据判别式的意义得到结论；
把代入方程求解即可；
求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出的值．
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
20.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌头盔的售价应定为元个．
【解析】设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该品牌头盔销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】；；
若为等边三角形，
则有，即，解得，
当时，为等边三角形；
设时，与第一次相遇，
根据题意得，解得，
即时，两点第一次相遇．
当时，走过得路程为，
而，即此时在边上，
秒钟两点在上第一次相遇．
【解析】【分析】
本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．
由等边三角形的性质可求得的长，用可表示出和的长；
由等边三角形的性质可知，可得到关于的方程，可求得的值；
设经过秒后第一次相遇，由条件可得到关于的方程，可求得的值，可求得点走过的路程，可确定出点的位置．
【解答】
解：为等边三角形，
，
，，
故答案为：；；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：如图，延长交于，则，，
，，
，
∽，
，即，
，
同理得：∽，
，
，
，
米．
答：旗帜的宽度是米．
【解析】如图，延长交于，则，，证明∽和∽，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：根据题意得：，．
故答案为：，；
对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
，；
故答案为：，；
，，，
方程的两根之和为，两根之积为．
两根之和与两根之积的和等于，
，
解得或．
由，可得出，；
利用公式法，可求出方程的两根为，，将其相加及相乘后，即可得出结论；
利用根与系数的关系，即可求出方程的两根之和及两根之积的值．
本题考查了根与系数的关系、公式法求一元二次方程以及运用公式法分解因式，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．
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