2023-2024学年湖南省衡阳八中教育集团八年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的算术平方根为( )
A. B. C. D.
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.的结果是( )
A. B. C. D.
4.对于命题“如果，那么”能说明它是假命题的反例是( )
A. B. ，
C. ， D. ，
5.如图，已知在中，，于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离分别是和，则正方形的边长是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知等腰三角形的两边长分别是，，若，，满足，那么它的周长是( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，中，平分，垂直平分交于点，交于点，连接，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.因式分解： ______．
11.若，则______．
12.如图，中，，线段上的点在边的垂直平分线上已知则的度数为______．
13.已知一直角三角形的斜边为，其中一直角边长为则这个直角三角形斜边上的高为______．
14.如图所示，是的角平分线，，垂足分别为，，，，则的长是______．
15.如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
18.本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：≌．
19.本小题分
如图，在中，，，，于点，点在上，且．
若的周长是，求线段的长；
求的度数．
20.本小题分
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点，且为的中点．
求证：；
若，求的度数．
21.本小题分
如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
求证：≌；
连结，若．
求证：是的角平分线；
若，时，求的长．
22.本小题分
定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“和积数”．
若，，求、的“和积数”；
若，，求、的“和积数”；
已知，且、的“和积数”，求用含的式子表示
23.本小题分
在中，，，是的角平分线，于．
如图，连接，求证：是等边三角形；
如图，点为上一点，连结，作等边，连接，求证：；
如图，点为线段上一点，连结，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明．
24.本小题分
如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，为直角三角形？
另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的算术平方根是：．
故选：．
直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，即可得出答案．
本题考查算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，
原式，
故选：．
根据多项式除以单项式的法则用多项式每一项去除以单项式即可得到答案．
本题考查多项式除以单项式，注意先化为单项式除单项式的形式，再进行计算．
4.【答案】
【解析】解：、满足，但不满足，满足题意；
B、，满足命题“如果，那么”，不符合题意；
C、，不满足命题“如果，那么”，不符合题意；
D、，不满足命题“如果，那么”，不符合题意；
故选：．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
利用多项式乘以多项式法则计算，从而得出．
此题考查了多项式乘以多项式，正确记忆运算法则是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：点、到直线的距离分别是和，
，，，，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故选：．
根据点、到直线的距离分别是和，得到，，即可得到≌，从而得到，结合勾股定理求解即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、勾股定理及三角形全等的性质应用，是中考常见题型，比较简单．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，
解得，，
当为腰时，三边为：，，，满足三边关系，
周长是：，
当为腰时，三边为：，，，满足三边关系，
周长是：，
故选：．
根据非负式子和为求出，，结合等腰三角形两腰相等及三边关系即可得到答案．
本题考查完全平方的非负性，绝对值的非负性，三角形的三边关系及等腰三角形的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
9.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
的中垂线交于点，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的性质可得，然后再计算出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，．
原式，
故答案为：．
利用非负数的意义求得，的值，将，的值代入计算即可．
本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得，的值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得出，
另一直角边为：，
，
解得：，
故答案为：．
根据勾股定求出另一直角边，再根据三角形面积求解即可得到答案．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过作，
是的角平分线，，，
，
，，，
，
，
故答案为：．
过作，根据角平分线得到，结合三角形面积即可得到答案．
本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的应用．
15.【答案】
【解析】解：设直角三角形的斜边为，
则，
，
，
，
故答案为：．
根据图形和勾股定理可知，，再由完全平方公式即可得到结果．
本题考查勾股定理，完全平方公式，勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
16.【答案】解：
．
【解析】由绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算法则进行化简，然后计算加减即可得到答案．
本题考查了绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
17.【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
【解析】原式利用完全平方公式，单项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】根据平行线的性质可得，然后利用证明≌，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：，，
，
的周长是，
，
，
线段的长为；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
的度数为．
【解析】根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案；
根据等腰三角形两底角相等及三线合乙得到，，结合即可得到答案；
本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，且为的中点，
是的垂直平分线，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
的度数为．
【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据已知可得：是的垂直平分线，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌．
证明：≌，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
是的角平分线．
解：≌，，，
，
，
的长是．
【解析】由，得，而，，即可根据“”证明≌；
由全等三角形的性质得，则垂直平分，所以，则，所以，则是的角平分线；
由全等三角形的性质得，则．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，推导出，进而证明≌是解题的关键．
22.【答案】解：
，
若，，、的“和积数”为；
，，
，
，
当时，；
当时，，
、的“和积数”为或；
，
，
，
，
，
．
【解析】根据新定义，把，代入进行计算即可；
根据已知条件，利用完全平方公式，求出，把去掉括号，再把和的值整体代入计算即可；
把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，把代入，进行解答即可．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
23.【答案】证明：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
证明：与都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：；
证明：延长至，使，连接，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
．
【解析】由直角三角形的性质得出，由角平分线的定义得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论；
由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明≌，得出，得出，即可得出结论；
延长至，使，连接，证出为等边三角形，得出，，得到，证出，由证明≌，得出，证出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．
24.【答案】解：，，，
，动点从点开始，按的路径运动，速度为每秒，
出发秒后，则，
，
，
的周长为：；
，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
在上运动时为直角三角形，
，
当在上时，时，为直角三角形，
，
，
解得：，
，
，
速度为每秒，
，
综上所述：当或，为直角三角形；
当点在上，在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
；
当点在上，在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
，
当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【解析】此题主要考查了勾股定理知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．
首先利用勾股定理计算出长，根据题意可得，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的周长；
当在上运动时为直角三角形，由此可得；当在上时，时，为直角三角形，首先计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得答案．
分类讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，．
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