绝密★启用前
2024 年浙江省柯南高考研究命题组方向性测试
数 学
姓名 准考证号
本试题卷分选择题和非选择题两部分。 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 3 页; 非选择题部
分 3 至 4 页。 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
考生注意:
1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题
卷和答题纸规定的位置上。
2. 答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试
题卷上的作答一律无效。
参考公式:
若事件 A, B 互斥, 则 柱体的体积公式
P(A + B) = P(A) + P(B) V = Sh
若事件 A, B 相互独立, 则 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高
P(AB) = P(A) P(B) 锥体的体积公式
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 则 n 次 V = 13 Sh
独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率
其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
P (k) = Ck pk n n (1 - p) n
-k(k = 0,1,2, …,n)
球的表面积公式
台体的体积公式 S = 4πR2
V = 1 (S1 + S1S2 + S2 )h 球的体积公式3 4 3
其中 S1 ,S2 分别表示台体的上、 下底面积, V
= 3 πR
h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径
选择题部分 ( 共 58 分 )
一、选择题Ⅰ：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；每小题只有一个选项符合题意，
不选、多选、错选均不得分。
1.已知集合 A = {x | x 2－8 x + 7 ≥ 0} ，集合 B = {y | y 2－10y +16 < 0}，则 A B =
A.{x | 7 ≤ x < 8} B.{x | 7 < x ≤ 8} C.{x | 2 ≤ x < 7} D.{x | 2 < x ≤ 7}
1+ i
2.已知复数 z = （ i是虚数单位），则 z的共轭复数是
2 +3i
3 1 5 1 5 3 3 4
A. + i B. + i C. + i D. + i
13 13 13 13 13 13 13 13
Z数学试卷第 1 页（共 4 页）
3.已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为 2和 5，高（单位：cm）为 3，则该圆台的
体积（单位：cm3）是
113π 115π 117π 119π
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.已知直线 ax + by +1 = 0与圆 (x +1)2 + y 2 = 1相切，则 b 2+2a的值
A.与 a有关，与 b有关 B.与 a有关，与 b无关
C.与 a无关，与 b有关 D.与 a无关，与 b无关
5.设 x1 < x2 < x3 “ | x－x1 | + | x－x2 | + | x－x3 |= 2”是“ (x－x1)(x－x2 )(x－x3 ) = 0”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
π π
6.已知ω ≠ 0，函数 f (x) = sin(ωx + )(x∈R)在 (0, )有三条对称轴和两个极小值，则
3 2
13 19 7 13
A. < ω ≤ B. < ω ≤
3 3 3 3
23 17 17 11
C.－ ≤ ω <－ D.－ ≤ ω <－
3 3 3 3
S
7.已知数列{an}的前 n项和为 Sn ,满足 a
n
n+1 = (n∈N
* ),a1 < 0 ,则可能同时为整数的是an
A. a3a4和 a5a6 B. a4a5和 a6a7
C. a5a6和 a10a11 D. a6a7和 a11a12
y
8.设 c > b > a > 0 ,集合 A = {a,b,c}，集合 B = {xy + | x ≠ y, x, y∈ A}，若 B中有 4个元素，则
x
a
A.集合 B中最小的元素一定等于 ab +
b
a
B.集合 B中最小的元素一定等于 ac +
c
c
C.集合 B中最大的元素一定等于 ac +
a
c
D.集合 B中最大的元素一定等于 bc +
b
二、选择题Ⅱ：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；每小题有多个选项符合题意，
全选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。
9.下列 x∈R的函数是偶函数的是
A. y = sin(sin x) B. y = cos(sin x) C. y = cos(cos x) D. y = sin(cos x)
10.已知随机变量 X ,Y ,其中Y = 3X +1 ,已知随机变量 X 的分布列如下表
若 E(X ) = 3，则
3 1
A.m = B. n = C. E(Y ) = 10 D. D(Y ) = 21
10 5
Z数学试卷第 2 页（共 4 页）
y 2 x 2 1
11.已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的离心率为 ,上下焦点分别为 F1(0,1), F2 (0,－1) ,M 为椭圆a b 2
上一点（不与椭圆的顶点重合）下列说法正确的是
A. a = 2
B. b = 2
4
C.若ΔF1F2M 2 为直角三角形，则 sin∠ F1MF2 = 5
D.若 |MF1 ||MF2 |= 4，则ΔMF1F2 的面积为 2 3
非选择题部分 ( 共 92 分 )
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分；请将答案直接填写在横线上。
2
12.在二项式 (3x + )6 的展开式中常数项是 ； x 2的系数是 .
x
x 2 y 2
13.已知双曲线 2 － 2 = 1(a,b > 0), F1 ,F2 为双曲线的左右焦点,过 F1 做斜率为正的直线交双曲a b
线左支于 A(x1 , y1),B(x2 , y2 )(y1 < y2 ) 两点 ,若 | AF1 |= 2a,∠ ABF2 = 90
，则双曲线的离心率是
.
14.已知平面向量 a,b 的夹角为 θ，b-a 与 a 的夹角为 3θ ， =1，a 和 b-a 在 b 上的投影为 x, y，
则 x(y + sin θ)的取值范围是 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分；解答应写出必要的演算步骤或文字说明。
15.(本题满分 13分)已知是锐角ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c，sin(A－B) = cosC.
（ ）求角 B的大小；
a 2 + c 2
（Ⅱ）求 b 2 的取值范围.
16.(本题满分 15分)已知三棱锥 P - ABC , AB⊥BC,BC⊥CP, D,M ,N
分别是 AP, AB,CP的中点, 4AB = 3BC = 12 , PB = 34,二面角的
3 10
P - BC -D余弦值为 .
10
（Ⅰ）证明： AB⊥MN；
（Ⅱ）求直线MN 与平面 BCD所成角的正弦值. （第 16题图）
Z数学试卷第 3 页（共 4 页）
17.(本题满分 15分)已知数列{an},{bn},{cn}(n∈N
* ) , a1 = c1 = 1 ,设数列{an}的前 n项和为 Sn ,数
列{b }的前 n项积为T Sn+nn n ,若 2cn = an +1 ,Tn = q (0 < q < 1) , nc1 + (n -1)c2 + + cn = Sn .
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
1
（Ⅱ）证明： (1+ b1)(1+ b2 ) (1+ bn ) < , n∈N
* .
1－q
1－a
18.(本题满分 17分)已知抛物线C1：y = ax
2 + (a > 0,a ≠ 1),抛物线C2：y = (x－b)
2 (b∈R) .
4a
C1的焦点为 F1 ,C2的焦点为 F2 ,C1与C2 交于 A,B两点.
（Ⅰ）证明：直线 AB是 F1F2 的中垂线；
（Ⅱ）当 a = 2时，求∠ AF2B的正切值(用 b表示).
a
19.(本题满分 17分)已知 a,b∈R ,函数 f (x) = ln 2 x + + bx + 2, x > 0 .
x
（Ⅰ）若 a = b = 1 ,求 f (x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数 f (x)有零点和极值点且极值点个数大于零点个数，求 a的取值范围；
（Ⅲ）若 f (x)有 3个极值点 s1 , s2 , s3 (s1 < s2 < s3 ) .证明：对一切 i∈{1,2,3}都有
16(a +1)2
| f (si ) |> .3(a 2 + 7a +12)
注： ln 2 x = [ln x] [ln x] .
命题/审核：茶发女孩灰原哀 陈澈
日常昏迷的谋杀者
审核：仙鹤 social death
浙江省柯南高考研究命题组
Z数学试卷第 4 页（共 4 页）
