九年级数学模拟测试卷
总分：120 时间：120分钟
班级_____________ 姓名____________
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）如果抛物线y＝（a﹣2）x2开口向下，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2
C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
2．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0
C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2 B．0＜R≤2
C．R≥1 D．0＜R≤1
5．（3分）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD D．AB平分PD
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，5），点P的坐标是（2，0），若点B和点A关于点P成中心对称，则点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣5） B．（﹣4，﹣5）
C．（﹣5，﹣4） D．（4，﹣5）
8．（3分）知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象与坐标轴没有交点
B．y随x的增大而减小
C．图象的两个分支关于原点O对称
D．图象与直线y＝﹣x不相交
9．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
10．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣3）2+1，下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝3
B．x＞3时，y随x的增大而增大
C．顶点坐标为（﹣3，1）
D．y的最小值是1
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 ．
12．（3分）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 cm2．
13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 ．
14．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
16．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．
三、解答下列各题（共8个小题，满分72分
17．（10分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如表：
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ．
18．（8分）信源超市非常关注民生，深受附近居民的欢迎，虽受疫情影响但营业额没反增，十月份营业额比九月份增加了44%，十一月份比十月份增加了21%，请你帮该走市算一下十月份、十一月份营业额平均每月的增长率．
19．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，弧ACD是半圆，C是弧ACD的中点，连接AD，BD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC．
（2）若AD＝6，求弧CD的长．
20．（8分）如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为，行进到水平距离为4m时达到最高处，最大高度为3m，求铅球推出的水平距离．
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，判断△DCF的形状，并说明理由．
22．（9分）如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于点A（﹣1，a），B两点，与x轴、y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）求过A，B两点的最小圆的面积．
23．（10分）如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y，从而确定了点P的坐标（x，y），（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）
（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；
（2）请用列举法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝x+1图象上的概率．
24．（11分）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．固定△ABC，将△DEC绕点C顺时针旋转．
（1）△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，如图②，
①当∠B＝∠CED＝30°时，旋转角的大小为 ．
②当∠B＝∠CED＝α时，旋转角的大小为 （用含α的式子表示）．
（2）记△AEC的面积为S1，△BDC的面积为S2，李琦同学发现在图①中很显然S1＝S2；在图②中，若∠B＝∠CED＝30°，AC＝DC＝1．则S1＝S2＝ ．于是李琦同学猜想：当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，S1＝S2仍然成立．试判断李琦同学的猜想是否正确，并说明理由．
答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分
1．（3分）如果抛物线y＝（a﹣2）x2开口向下，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2
C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
【分析】由于抛物线开口向下，则a﹣2＜0，解得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2开口向下，
∴a﹣2＜0，
即a＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
2．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【解答】解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
【点评】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
3．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0
C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、Δ＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B、Δ＝16+4＝20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、Δ＝16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、Δ＝25﹣4×3×2＝25﹣24＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2 B．0＜R≤2
C．R≥1 D．0＜R≤1
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，结合图象求出结论．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝
当I≤6时，则≤6，
R≥1，
故选：C．
【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
5．（3分）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
【分析】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，再乘以球的总个数即可．
【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，
所以袋中红色球的个数为120×0.33≈40（个），
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，5），点P的坐标是（2，0），若点B和点A关于点P成中心对称，则点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣5） B．（﹣4，﹣5）
C．（﹣5，﹣4） D．（4，﹣5）
【分析】根据中心对称定义可得B点的坐标．
【解答】解：设点B的坐标为（a，b），
根据中心对称定义得
解得
∴点B的坐标为（0，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，掌握中心对称定义是解决问题的关键．
8．（3分）知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象与坐标轴没有交点
B．y随x的增大而减小
C．图象的两个分支关于原点O对称
D．图象与直线y＝﹣x不相交
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断选项A，B，C中的说法是否正确，选项D可通过解方程组得到一元二次方程，根据判别式的符号解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝
∴图象与坐标轴没有交点，故选项A不符合题意；
k＝4＞0，在每个象限y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
图象的两个分支关于原点O对称，故选项C不符合题意；
当﹣x＝时，得x2+4＝0，
∵Δ＝0﹣4×1×4＝﹣16＜0，
∴方程﹣x＝无实数解，
∴图象与直线y＝﹣x不相交，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题．解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣3）2+1，下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝3
B．x＞3时，y随x的增大而增大
C．顶点坐标为（﹣3，1）
D．y的最小值是1
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣3）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，故选项A正确，不符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而增大，故选项B正确，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为（3，1），故选项C不正确，符合题意；
当x＝3时取得最小值1，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分18分
11．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 （4，3） ．
【分析】根据A和B关于x＝2对称，求得（0，3）关于x＝2的对称点是关键．
【解答】解：点A的坐标为（0，3），关于x＝2的对称点是（4，3）．即点B的坐标为（4，3）．
故答案是（4，3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，理解A和B关于x＝2对称是关键．
12．（3分）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 2 cm2．
【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
【解答】解：连接AC．
∵与关于点O中心对称，
∴点O为AC的中点，
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积＝△BAC的面积＝＝2（cm2）．
故答案为：2．
【点评】根据中心对称的性质，把所求的不规则图形转化为规则图形即△BAC的面积，是解决本题的关键．
13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 3x2+5x+1＝0 ．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ．
【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．
16．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 （2，3） ．
【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A（﹣），D（），根据正方形的性质得出+＝n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．
【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，
∴A（﹣），D（），
∵四边形ABCD为正方形，
∴+＝n，
解得n＝3（负数舍去），
∴D（2，3），
故答案为（2，3）．
方法二：
解：∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴S1＝3，S2＝6，
∴S正方形＝S1+S2＝9，
∴正方形的边长为3，
∴D点的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝，求得x＝2，
∴D（2，3），
故答案为（2，3）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
三、解答下列各题（共8个小题，满分72分
17．（10分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如表：
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 y＝ ．
【分析】根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．
【解答】解：由表格中两个变量的对应值可得，
200×0.50＝100＝250×0.40＝400×0.25＝500×0.1＝1000×0.10，
所以y与x成反比例关系，
所以y与x的函数关系式为y＝
故答案为：y＝．
【点评】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．
18．（8分）信源超市非常关注民生，深受附近居民的欢迎，虽受疫情影响但营业额没反增，十月份营业额比九月份增加了44%，十一月份比十月份增加了21%，请你帮该走市算一下十月份、十一月份营业额平均每月的增长率．
【分析】先求出十一月份营业额，可设增长率为x，那么十一月份的营业额可表示为九月份营业额×（1+x）2＝十一月份营业额，即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设九月份营业额为1．
十一月份营业额为（1+44%）（1+21%）＝
设十月份、十一月份营业额平均每月的增长率为x，
根据题意得（1+x）2＝
解得x1＝﹣（不符合题意，舍去），x2＝0.22＝22%．
答：十月份、十一月份营业额平均每月的增长率为22%．
【点评】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，弧ACD是半圆，C是弧ACD的中点，连接AD，BD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC．
（2）若AD＝6，求弧CD的长．
【分析】（1）连接CD，OC，根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠AOC＝∠COD，等量代换即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接CD，OC，
∵弧ACD是半圆，
∴∠ACD＝90°，
∵C是弧ACD的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠ABC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）解：∵弧ACD是半圆，
∴∠ACD＝90°，
∵C是弧ACD的中点，
∴
∴∠ABC＝∠CBD＝
∴∠DOC＝90°，
∵AD＝6，
∴OD＝3，
∴的长度＝＝
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（8分）如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为，行进到水平距离为4m时达到最高处，最大高度为3m，求铅球推出的水平距离．
【分析】把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+3，求出二次函数解析式，解一元二次方程即可．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，
把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+3，
解得，a＝﹣
∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+3＝﹣x2+x+；
当﹣x2+x+＝0时，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
则铅球推出的距离为10m．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，判断△DCF的形状，并说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠A，根据圆周角定理得到∠BCA＝90°，求得OC⊥CD，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到∠A+∠DCA＝90°，得到∠DCA＝∠EFA，推出∠DCA＝∠DFC，于是得到结论．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∴△DCF是等腰三角形．理由：
∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠EFA＝90°，
∴∠DCA＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠DFC，
∴∠DCA＝∠DFC，
∴△DCF是等腰三角形．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22．（9分）如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于点A（﹣1，a），B两点，与x轴、y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）求过A，B两点的最小圆的面积．
【分析】（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+3解方程得到A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入解方程或方程组即可得到结论．
（2）根据题意得过A，B两点的最小圆是以线段AB为直径的圆，根据勾股定理得到AB＝＝，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+3得，a＝﹣1+3＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入得k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝
解得
∴点B的坐标（﹣2，1）；
（2）∵过A，B两点的最小圆是以线段AB为直径的圆，
由（1）知，A（﹣1，2），点B（﹣2，1），
∴AB＝＝
∴过A，B两点的最小圆的面积为（）2π＝π．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解方程组，圆的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
23．（10分）如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y，从而确定了点P的坐标（x，y），（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）
（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；
（2）请用列举法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝x+1图象上的概率．
【分析】（1）根据概率的意义直接得出答案；
（2）用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果情况，
（3）根据概率公式，进行计算即可．
【解答】解：（1）P（指向的数字2）＝；
（2）用列表法表示所有可能的情况如下：
共有9种情况分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）；
（3）由题意以及（2）可知：
满足y＝x+1的有：（1，2）（2，3），
则有
【点评】考查列表法、树状图法求随机事件发生的概率，在利用列表法或树状图时一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
24．（11分）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．固定△ABC，将△DEC绕点C顺时针旋转．
（1）△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，如图②，
①当∠B＝∠CED＝30°时，旋转角的大小为 60° ．
②当∠B＝∠CED＝α时，旋转角的大小为 2α （用含α的式子表示）．
（2）记△AEC的面积为S1，△BDC的面积为S2，李琦同学发现在图①中很显然S1＝S2；在图②中，若∠B＝∠CED＝30°，AC＝DC＝1．则S1＝S2＝ ．于是李琦同学猜想：当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，S1＝S2仍然成立．试判断李琦同学的猜想是否正确，并说明理由．
【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
②根据旋转的性质和等腰三角形 的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由（1）①知，△ACD是等边三角形，根据直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2，②根据勾股定理得到BC＝＝，根据三角形的面积公式得到S1＝S2＝S△ACB＝＝，如图3，作点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE于N，根据旋转的性质得到BC＝CE，AC＝CD，根据全等三角形的判定和性质定理得到AN＝DM，于是得到结论．
【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴旋转角的大小为60°，
故答案为：60°；
②∵∠ACB＝90°，∠B＝∠CED＝a，
∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣a，
∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝90°﹣a，
∴∠ACD＝180°﹣2（90°﹣a）＝2a，
∴旋转角的大小为2a，
故答案为：2a；
（2）当∠B＝∠CED＝30°，AC＝DC＝1．
由（1）①知，△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝1，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∴AD＝BD，
∵BC＝＝
∴S1＝S2＝S△ACB＝＝
如图3，作点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2．
故答案为：．
