名校调研系列卷·九年级第四次月考试卷 数学（人教版）
期末
一、选择题（每小题2分，共12分）
1.下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线
3.下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在和中，，要使与相似，还需满足下列条件中的（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在半径为的中，弦长，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7.已知与相似且面积比为，则与的周长比为________.
8.若反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，则常数的取值范围是________.
9.如果一元二次方程配方后得到，那么________.
10.如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数为________.
11.如图，抛物线经过点，它的对称轴为直线，则当时，的取值范围是________.
12.如图，点是反比例函数的图象上一点，过点向轴作垂线，垂足为，点、在轴上，且，则四边形的面积为________.
13.为了测量树木的高度，小壮把老师教学用的直角三角板直立于地面进行测量.如图，点、、在同一水平线上，和均为直角，与相交于点.测得，，，则树高________.
14.如图，在中，，，，以为直径的半圆交于点，则图中阴影部分的面积是________（结果保留根号和）.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15.解方程：.
16.已知关于的反比例函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）判断该反比例函数图象经过的象限.
17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.请在所给平面直角坐标系中以原点为位似中心，在第三象限画出的位似，使它与的相似比为.
18.当当和叮叮玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的4张黑桃牌的正面，将这4张牌洗匀后正面朝下放在桌上，当当先从中抽出一张，叮叮从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜.该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务.
（1）每天完成的页数与所需天数之间是什么函数关系？
（2）若要求5天完成，求每天应完成多少页？
20.如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点，求证：.
21.如图，为的直径，如果上的点恰使，求证：直线与相切.
22.如图，抛物线交轴于点，交轴交于点，对称轴是直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，直接写出点的坐标.
24.【问题背景】：中，，，为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转.
图① 图②
【用数学的眼光观察】：（1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：________；
①；②；③；④.
【用数学的思维思考】：（2）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、.与相似吗？请说明理由.
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向点运动.当点不与点重合时，作交边于点，当点和点重合时，点停止运动.以为直角边向右作等腰，使，设点的运动时间为秒.
（1）线段的长为________（用含的代数式表示）；
（2）当点落在边上时，求线段的长；
（3）连接，当与相似时，求的值.
26.如图，已知抛物线（、是常数）的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线与轴的正半轴的交点，作直线.点是抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作于点，以、为邻边作矩形.
（1）填空：________，________；
（2）当点在线段上（点不与、重合）时，求的长度与的函数关系式，并直接写出的最大值；
（3）当抛物线被矩形截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点的坐标.
名校调研系列卷·九年级第四次月考试卷 数学（人教版）
期末
参考答案
一、1B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A
二、7. 8. 9. 10. 11. 12.5 13.6 14.
三、15.解：，.
16.解：（1）.
（2）第一、三象限.
17.解：如图.
18.解：公平，理由如下：画树状图如图所示。
共有12种可能的结果数，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果数为6，叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数为6，所以当当获胜的概率＝叮叮获胜的概率，所以该游戏公平.
四、19.解：（1）由题意，得，整理，得，∴每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系.
（2）由题意，得，解得，∴每天应完成160页.
20.证明：∵四边形是正方形，，是的中点，∴，，∴，又∵，∴.
21.证明：连接，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵是的半径，∴直线与相切.
22.解：（1）抛物线的解析式为.
（2）存在.∵点与点关于对称，∴连接与交于点，则点即为所求，根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，与轴的交点为，∴设直线的解析式为，解得∴直线的解析式为，则直线与的交点坐标为，∴点的坐标为.
五、23.解：（1），.
（2）或.
（3）.
24.解：（1）②③④.
（2），理由：∵，，∴，∵，∴，，∴，∴.
六、25.解：（1）.
（2）当点落在边上时，如图①，∵等腰中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴.
（3）∵等腰中，，，∴，，∴，当时，如图②，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴.
图① 图②
26.解：（1）；.
（2）∵抛物线的解析式为，令，则，解得，，∴，设直线的解析式为，∴解得∴，∵点横坐标为，轴，∴，，∵点在线段上，∴，∴，∴的最大值为.
（3）∵，，∴当点在对称轴的左侧时，，解得，（舍），∴.
当点在对称轴的右侧时，，解得，（舍），∴.
综上所述，点的坐标为或.
