湖南省长沙市2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
5．将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天） 3 3 4 2 2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店（ ）．
A．不盈不亏 B．盈利10元 C．亏损10元 D．盈利50元
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
10．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．因式分解 ．
12．某公司招聘职员，某位应聘者笔试、面试的成绩分别为92分、90分，若综合成绩依次按计算，则该应聘者的综合成绩为 分．
13．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 ．
15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
16．如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 ．
17．如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）
18．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC和EO的长度．
22．为增加学生阅读量，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了4400元，购买“文学类”图书花费了3520元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用超过1790元且不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
23.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．
24.在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”．①y＝2x （ ）；②y＝﹣2x+2 （ ）；③y＝x2 （ ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
25.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
湖南省长沙市2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：在，，，，2022这五个数中无理数为和，共2个．故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选B．
3．下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：（1），故（1）错误；（2），故（2）错误；
（3），故（3）错误；（4），故（4）错误，
综上所述，错误的个数为4个，故选：D．
4．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设第三边的长为x，∵ 角形的两边长分别为和，∴3cm＜x＜13cm,故选C．
5．将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将0.000000018用科学记数法表示为；故选B．
6．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，，，
，，，故选：C．
7．开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天） 3 3 4 2 2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：由统计表可知，36.5℃出现了4次，次数最多，故众数为36.5，中位数为=36.5（℃）．
故选：B．
8．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店（ ）．
A．不盈不亏 B．盈利10元 C．亏损10元 D．盈利50元
【答案】B
【详解】设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元，则，，解得，．因为（元），所以盈利了10元．
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．
10．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，∴阴影部分面积为：，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，故选：A．
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．因式分解 ．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
12．某公司招聘职员，某位应聘者笔试、面试的成绩分别为92分、90分，若综合成绩依次按计算，则该应聘者的综合成绩为 分．
【答案】
【详解】解：某位应聘者笔试、面试的成绩分别为92分、90分，若综合成绩依次按计算，
该应聘者的综合成绩为分，故答案为：．
13．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ．
【答案】/50度
【详解】解：∵在中，，，∴，由作图可知是的垂直平分线，，，，故答案为：．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 ．
【答案】﹣6
【详解】解：设点A的坐标为（a，），由图可知点A在第二象限，∴a＜0，，∴k＜0，
∵△AOB的面积是3，∴，解得k＝-6，
故答案为：-6．
15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．
16．如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 ．
【答案】2
【详解】与位似，，，，的周长为4，
的周长为2．故答案为：2．
17．如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）
【答案】
【详解】解：根据题意可得，，，，，，，
∴如图所述，过点作于点，
∵，即，且，，∴，
∴四边形是矩形，即，，在，，，∴，则，
∴，在中，，，
∴，则，∴，
故答案为：．
18．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
【答案】①②③
【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】
【详解】解：；
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式
，当时，原式，
故答案是： ．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC和EO的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝8，在Rt△AEC中，AC＝＝＝4，∵∠AEC＝90°，AO＝CO，∴OE＝AC＝2．
22．为增加学生阅读量，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了4400元，购买“文学类”图书花费了3520元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用超过1790元且不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
【详解】解：（1）设“科普类”图书的单价为元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）设“文学类”书购a本，则“科普类”书购（）本，
依题意：，解之得：．因为a是正整数，所以．
学校有3种购买方案：①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
23.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）
∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，
∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝142﹣2×48＝100，
在Rt△COD中，CD＝＝＝＝10，∴CD＝10．
24.在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”．①y＝2x （ ）；②y＝﹣2x+2 （ ）；③y＝x2 （ ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
【详解】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2 不是“极差常函数”，故答案为：×；
当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为
（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，
∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，
∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，
∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，
∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，
∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，
∴≤4ah≤81．
25.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2…①；
（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF＝＝m2+1，
而点P到直线l的距离为：m2+1，则⊙P与直线l的位置关系为相切；
②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最大，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线FQ的函数表达式为：y＝x+1…②，联立①②并解得：x＝2±2，
故点P的坐标为：（2+2，3+2）或（2﹣2，3﹣2）；
（3）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，
设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），则BC＝2k2+2，
设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切．
