2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数经典题型
一、单选题
1．设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上
A．x轴 B．y轴 C． D．
2．在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为实数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A． B．
C． D．
7．复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．若复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则或
10．若z满足，则（ ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3
11．已知，是的共轭复数，则（ ）
A．若，则
B．若为纯虚数，则
C．若，则
D．若，则集合所构成区域的面积为
三、填空题
12．设为虚数单位，若复数满足，则 .
13．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则 ．
14．已知m，，i是虚数单位，若，则 ．
四、解答题
15．化简下列复数
(1)
(2)
16．设复数．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求．
17．设，复数．
(1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？
(2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
18．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
19．设是虚数，
(1)求证为实数的充要条件为；
(2)若，推测为实数的充要条件；
(3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数．
参考答案：
1．C
【分析】结合复数的运算公式，化解复数，再结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数，
所以对应的点在直线上.
故选：C
2．D
【分析】先根据复数的除法化简复数，然后根据复数的几何意义判断.
【详解】，在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
3．B
【分析】利用复数除法运算及共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
4．A
【分析】根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可.
【详解】，，
，
故选：A.
5．B
【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的分类得出结论．
【详解】由，
为实数，，解得．
故选：B．
6．C
【分析】利用复数运算法则化简即可求解.
【详解】依题意得，
所以，
则在复平面内对应的点为．
故选：C
7．B
【分析】根据复数的乘方和除法运算即可.
【详解】由 ，所以虚部为 2.
故选：B.
8．B
【分析】根据复数模的运算公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】令，为实数
由，
所以，
因此当时，取最小值，
故选：B
9．ABD
【分析】利用复数运算性质判断ABD,举反例判断C.
【详解】设，，因为，
，所以，故A正确；
又，
，
，
所以，故B正确；
取，，可得，故C错误；
若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确；
故选：ABD．
10．AB
【分析】通过待定系数，结合复数加法、模的运算得，由此可判断AB，进一步由复数除法、乘法可判断C，由复数几何意义以及三角函数定义即可判断D.
【详解】设，因为，所以，所以．
，解得，所以，所以A，B正确；
，所以C错误；
因为z对应的向量坐标为，所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为，所以D错误．
故选：AB．
11．ABD
【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D.
【详解】对于A，，则，A正确；
对于B，为纯虚数，令，则，B正确；
对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误；
对于D，集合所构成区域是复平面内以为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】利用复数的除法，共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13．/
【分析】由复数的运算和解一元二次方程得出结果.
【详解】，
所以，解得，
故答案为：.
14．
【分析】根据复数乘法运算结合复数相等的充要条件可得，即可由模长公式求解.
【详解】由可得，
故且，解得，
所以，
故答案为：
15．(1)
(2).
【分析】利用复数的加减运算法则求解.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【详解】（1）由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先将复数的实部与虚部整理出来，根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）利用复数的几何意义，根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可.
【详解】（1）由题意得，，
当是纯虚数时，，解得，
即时，是纯虚数．
（2）当在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，，解得，
即时，在复平面内对应的点在第二象限．
18．(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解；
（2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解.
【详解】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，
解得：，.
（2），，，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数.
（2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是.
（3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数.
【详解】（1）（必要性）设，知
为实数，则，即易得．
（充分性）反之，若，
∴为实数．
（2）设为实数．
易得，即．
反之，由得为实数．
∴为实数的充要条件是．
（3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数．
由（2）知，，
设，则由
知．取或2或3，及，易得相应的．
∴或．
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