2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用经典题型
一、单选题
1．已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，则（ ）
A．// B．//
C． D．
3．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B．2 C．或1 D．或2
4．已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正八边形的边长为1，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则对任一非零向量都有
C．若，则与中至少有一个为
D．若与是两个单位向量，则
10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则向量在上的投影为
B．若，则，
C．若且，，则
D．若，则向量与的夹角为锐角
11．已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A．若是钝角三角形，则
B．若是锐角三角形，则
C．的最大值是
D．的最小值是
三、填空题
12．已知向量，若与共线，则 .
13．已知两个单位向量满足则的夹角为
14．在中，在边上，且平分，若，则的长为
四、解答题
15．平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
(1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
16．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
17．在平行四边形中，．
(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
18．记的内角的对边分别为，已知且．
(1)证明：；
(2)若，求．
19．的内角的对边分别为已知，为的角平分线．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若∥，则则存在唯一的实数μ≠0，使得
故 ，
而 ，
存在λ 使得成立，
所以“∥”是“存在，使得 ”的充分条件，
若且 ，则与方向相同,故此时∥，
所以“∥”是“存在， 使得 的必要条件，
故∥”是“存在，使得| 的充分必要条件，
故选: C
2．D
【分析】利用平面向量的坐标运算结合条件逐项判断即可.
【详解】易知，因为，
所以，故成立，则//不成立，故A错误，D正确，
而，显然，，
则，//不成立，故BC错误.
故选：D
3．C
【分析】利用向量减法运算和垂直的坐标表示直接求解.
【详解】由题意得，，∵，
∴，解得或，
故选:C.
4．D
【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.
【详解】向量，，则，而，
所以，的夹角为.
故选：D
5．C
【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
可得，，，，，
所以，，
所以．
故选：C．
6．C
【分析】建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可.
【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
因为是的中点，所以，
因为是线段的中点，所以，
所以，，，
所以，
所以.
故选：C.
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算，从而得解.
7．D
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解即得.
【详解】向量，由，
得，
变形得，而，即，
因此，所以.
故选：D
8．D
【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值.
【详解】设、、，
则、、，
由，则有，即，
由，有，故，即，
即有，且，
则，
由，故当时，有最大值，
且的最大值为.
故选：D.
9．AD
【分析】根据数量积的定义可知A正确，利用垂直关系的向量表示可得B、C均错误，由单位向量定义以及向量运算律可得D正确.
【详解】因为的长度为0，结合数量积的公式可知，A正确；
当非零向量时，有，可知B错误；
若，则与可以是相互垂直的两个非零向量，即C错误；
因为与是单位向量，即，
所以，，故，即D正确；
故选：AD
10．BC
【分析】根据向量的投影公式的计算，可判定A正确；根据向量的数量积的公式，可判定B不正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程组，结合 时，方程组有无数组解，可判定C不正确；根据向量的夹角公式，可判定D正确.
【详解】平面向量，
对于A中，当时，，可得且，
所以向量在上的投影为，所以A正确；
对于B中，由，可得，即，
则方程有无数组解，所以B不正确；
对于C中，由且，可得，当 时，方程组有无数组解，所以C不正确；
对于D中，设向量与的夹角为，由，
当时，可得，则，
若，可得，解得，所以时，向量与不共线，
所以向量与的夹角为锐角，所以D正确.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据为钝角时即可判断A，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.
【详解】对于A,若为钝角，则,故，A错误，
对于B,由正弦定理可得，
由于是锐角三角形，所以且，故，
故，进而，故B正确，
对于C, ,由于，所以时，取最大值，故最大值为，C正确，
对于D，由正弦定理可得
当时，，故D错误，
故选：BC
12．-6
【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程求解，即可得答案.
【详解】由题意可得，
因为与共线，故，
故答案为：-6
13．
【分析】两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角.
【详解】两边平方得，
设的夹角为，
即，
因为为单位向量，所以，解得，
因为，所以.
故答案为：
14．/
【分析】根据角平分线定理得，再利用余弦定理求得，最后再利用三角形面积公式即可.
【详解】因为平分，所以，
设，由余弦定理，得，
即，解得.
由，得，
解得，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用角平分线定理和余弦定理求出的长，最后利用即可得到答案.
15．(1)
(2)且
【分析】（1）代入投影向量的计算公式，即可求解；
（2）转化为，且不平行.
【详解】（1）向量在向量方向上的投影向量为；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，
则，
，得，
若向量，则，得，经验证满足同向共线，
所以且.
16．，，．
【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标.
【详解】设，，，
则，，
，，
，，
因此，，．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【详解】（1）因为分别是的中点，
所以，
.
（2）因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，通过边角的转化可证明结论.
（2）先根据条件求出的值，结合条件，可求，的三角函数值，利用三角形内角和定理及和角公式，可求.
【详解】（1）由正弦定理可得，
，整理可得，
且，
或．
当时，，即，不符合条件．
．
（2）由及，可得．
由（1）及正弦定理可得，
．
，
．
19．(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理得到边长之间的关系，再将面积比转化为边长比求解即可.
（2）利用余弦定理求出边长关系，解方程即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，得，由正弦定理得．
因为AD为∠BAC的角平分线，所以．
所以．
（2）设△ABC的BC边上的高为h，由（Ⅰ）知，，
所以，
在△ABD中，由余弦定理，得，
在△ACD中，由余弦定理，得，
所以，
即，
解得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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