2022-2023学年吉林省长春八十七中13-18班七年级（下）调研数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．﹣x﹣3＝4 B．x2+3＝x+2 C．﹣1＝2 D．2y﹣3x＝2
2．（3分）下列变形正确的是（ ）
A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得
C．由，得y＝0 D．由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3
3．（3分）方程y﹣2x＝5，用含y的代数式表示x为（ ）
A． B． C．y＝5+2x D．y＝5﹣2x
4．（3分）已知x＝3是关于x的方程x﹣a＝2的解，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（3分）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
6．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．（3分）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．560 B．490 C．630 D．700
8．（3分）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．350克 B．300克 C．250克 D．200克
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）已知方程x2m﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
10．（3分）当x＝ 时，代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数．
11．（3分）小红在解关于x的一元一次方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为 ．
12．（3分）如图，根据流程图中的程序，当输入数值x为5时，输出数值y为 ．
13．（3分）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是 ．
14．（3分）利用两个外形一致的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（9分）解下列方程（组）．
（1）2x+7＝3（x+2）；
（2）；
（3）．
16．（6分）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： 解：去分母，得3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6第一步 去括号，得3x﹣9﹣4x﹣2＝6第二步 移项，得3x﹣4x＝6﹣9﹣2第三步 合并同类项，得﹣x＝﹣5第四步 方程两边同除以﹣1，得x＝5第五步
（1）以上求解步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）请解方程：．
17．（6分）关于x、y的方程组的解是，求m2﹣n2的值．
18．（6分）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，余下的由甲乙一起完成．余下的部分需要几小时完成？
19．（6分）从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？
20．（9分）（1）若方程m（1﹣x）＝x+3与方程2﹣x＝x+4的解相同，求m的值．
（2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组的解．
（3）善于研究的小颖同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是 ．
21．（8分）先阅读，然后答题．
阿基米德测皇冠的故事 叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠．王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻．他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重．国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题．回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解．一天，他的夫人逼他洗澡．当他跳入池中时，水从池中溢了出来．阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来．他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）”．夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了”，便随后追了出去．街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看．原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同．如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假．阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假．在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银．烦人的王冠之谜终于解开了．
小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．
（1）探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．由此可知：放入一个A型号钢球水面会上升 mm，放入一个B型号钢球水面会上升 mm；
（2）探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，求放入水中的A型号与B型号钢球各几个？
22．（7分）阅读探索：
知识累计：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为．
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解下列方程组：；
（2）能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，求出关于m，n的方程组的解．
23．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“关联方程”．
（1）若关于x的方程5x+a＝0与方程2x﹣4＝x+1是“关联方程”，求a的值；
（2）若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
（3）若关于x的方程2x+3b﹣2＝0和3x﹣5b+4＝0是“关联方程”，求b的值．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC﹣CD的线路运动，设运动的时间为t（s）．（0＜t＜8）
（1）当点P在AB﹣BC上运动时，
①用含t的代数式表示线段BP的长度．
②当BQ＝2BP时，求t的值．
（2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ，
③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度．
④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年吉林省长春八十七中13-18班七年级（下）调研数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【解答】解：B是二次的，C不是整式方程，D含有两个未知数，
它们都不符合一元一次方程的定义．
只有A符合一元一次方程的定义．
故选：A．
2．【解答】解：A、由3+x＝5得x＝5﹣3，故A错误，不合题意；
B、由7x＝﹣4得，故B错误，不合题意；
C、由得y＝0，故C正确，符合题意；
D、由3＝x﹣2得x＝2+3，故D错误，不合题意．
故选：C．
3．【解答】解：移项得，﹣2x＝5﹣y，
x的系数化为1得，x＝﹣（5﹣y）＝（y﹣5）．
故选：B．
4．【解答】解：把x＝3代入方程x﹣a＝2得：3﹣a＝2，
解得a＝1，
故选：A．
5．【解答】解：，
把①代入②得：3x﹣（x+5）＝8，
整理得：3x﹣x﹣5＝8，
故选：A．
6．【解答】解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，
∴代入得：8m﹣3m＝10，
解得：m＝2，
故选：D．
7．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴长方形ABCD的长为5y＝5×6＝30，宽为21，
∴长方形ABCD的面积＝7xy＝7×15×6＝630，
故选：C．
8．【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克，
∴2x+y＝350，x+2y＝400，
相加得：3x+3y＝750，
∴x+y＝250．
∴需要在天平右盘中放入砝码250克，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．【解答】解：∵方程x2m﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
10．【解答】解：由题意可得：（4x﹣5）+（3x﹣6）＝0，
解得：x＝，
所以当x＝时，代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数．
故答案为：．
11．【解答】解：把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13，
解得a＝3，
即方程为15﹣x＝13，
解得x＝2，
即原方程的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
12．【解答】解：∵x＝5≥1，
将x＝5代入，
得，
故答案为：6．
13．【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴，
解得：，
则x※y＝5x﹣y
∴2※1＝2×5﹣1＝9，
故答案为：9．
14．【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方体木块的长比宽长ycm，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：85cm．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．【解答】解：（1）2x+7＝3（x+2），
去括号得：2x+7＝3x+6，
移项合并同类项得：﹣x＝﹣1，
未知数系数化为1得：x＝1；
（2），
把②代入①得：4x﹣3（7﹣5x）＝17，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝7﹣5×2＝﹣3，
∴原方程组的解为：；
（3）解：，
由①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入②得：30+6y＝42，
解得：y＝2，
∴原方程组的解为：．
16．【解答】解：（1）第三步移项出现错误，应该为3x﹣4x＝6+9+2，错误的原因是移项没有变号；
故答案为：三；移项没有变号．
（2）．
去分母得：4（2x﹣5）＝3（3﹣x）﹣24，
去括号得：8x﹣20＝9﹣3x﹣24，
移项，得8x+3x＝9﹣24+20
合并同类项得：11x＝5，
系数化为1得：．
17．【解答】解：∵关于x、y的方程组的解是，
把x＝1，y＝1代入方程组，可得：，
解得：m＝2，n＝3，
所以m2﹣n2＝4﹣9＝﹣5．
18．【解答】解：设余下的部分需要x小时完成，
×4+（+）x＝1，
X＝6．
答：余下的部分需要6小时完成．
19．【解答】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米，
﹣＝30
x＝320
故甲，乙两地之间的高速公路是320千米．
20．【解答】解：（1）一元一次方程2﹣x＝x+4的解为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入方程m（1﹣x）＝x+3得：m[1﹣（﹣1）]＝﹣1+3，
解得：m＝1，
∴m的值为1；
（2）将m＝1代入原方程得：，
即，
（①﹣②）÷2得：x＝，
将x＝代入②得： +y＝0，
解得：y＝﹣，
∴在（1）的条件下，关于x、y的方程组的解为；
（3）原方程组可变形为，
①﹣②得：x﹣y＝1，
∴无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是x﹣y＝1．
故答案为：x﹣y＝1．
21．【解答】解：（1）由题意得，放入一个A型号钢球水面会上升（36﹣30）÷3＝2mm，放入一个B型号钢球水面会上升（36﹣30）÷2＝3mm，
故答案为：3，2；
（2）设放入水中的A型号与B型号钢球各x个，y个，
由题意得，，
解得，
答：放入水中的A型号与B型号钢球各3个，7个．
22．【解答】解：（1）设，，
原方程组可变为：
解得：
即
解得：
（2）设
可得
解得：．
23．【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝x+1得：x＝5，
将x＝﹣5代入方程5x+a＝0得：5×（﹣5）+a＝0，
解得：a＝25；
（2）由题意得：或，
解两个二元一次方程组得：或，
∴m、n的值为：或；
（3）解方程2x+3b﹣2＝0得：，
解：方程3x﹣5b+4＝0得：，
∵方程2x+3b﹣2＝0和3x﹣5b+4＝0是关于x的“关联方程”，
∴，
解得：b＝2．
24．【解答】解：（1）①当0＜t≤2时，BP＝（4﹣2t）cm，
当2＜t≤4时，BP＝（2t﹣4）cm；
②当0＜t≤2时，2（4﹣2t）＝t，
解得：，
当2＜t≤4时，2（2t﹣4）＝t，
解得：，
综上分析可知，或；
（2）③当P运动到点C时，用的时间为：（4+4）÷2＝4（s），
∵4×4＝16，
∴此时点M正好运动到点D，当点P与点M第一次重合时，4（t﹣4）+2（t﹣4）＝4，
解得：，
∴；
④点M从点D向点C运动时，
点P运动到点C时，点Q正好运动到点C，
当点M与点Q第一次重合时，4（t﹣4）+（t﹣4）＝4，
解得：，
从点P与点M第一次重合到点M与点Q第一次重合，点M正好在PQ上，
∴当时，点M落在线段PQ上；
点M从点C向点D运动时，
当点M与点Q第二次重合时，4（t﹣5）＝1+t﹣5，
解得：，
当点M与点P第二次重合时，4（t﹣5）＝2+2（t﹣5），
解得：t＝6，此时点P、M都运动到D处，
当点Q与点M第二次重合到点M与点P第二次重合，点M正好在PQ上，
∴时，点M落在线段PQ上；
综上分析可知，当或时，点M落在线段PQ上．
