泰州市民兴中英文学校
初三数学2024年春学期第一次月度独立作业
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意：本卷共26道题，所有答案一律填写在答题卡上，写在试卷上无效
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在括号内）
1. 下列各数是负数（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等
5. 如图，二次函数的图像经过点和点．关于这个二次函数的描述：①，，；②当时，y的值等于1；③当时，y的值小于0．正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”．若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A. 12 B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
7. 某粒子的直径约为0.000 000 21米，用科学记数法表示0.000 000 21是_____________．
8. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
9. 因式分解：______．
10. 分式方程的解为x=______．
11. 一元二次方程的两个根为，，则的值是______．
12. 如图，传送带一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．
13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________．
14. 若直线与坐标轴围成的三角形面积是6，则_______．
15. 如图，在平行四边形中，在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，与y轴交于点E．若，，则________．
16. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）．
18. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
19. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
（1）班 8 8 c 1.16
（2）班 a b 8 156
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
20. 把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
21. 广西的“三月三“是壮族的传统节目，为庆祝“三月三”，某学校准备举办“壮乡三月三歌舞节”，学校计划购买杜鹃花和满天星两种花卉共46盆，且柱鹃花盆数不少于满天星盆数的2倍．已知杜鹃花每盆9元，满天星每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买杜鹃花和满天星，问可购买杜鹃花和满天星各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种花卉总费用的最小值．
22. 如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
23. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
24. 如图，是四边形的外接圆．是四边形的对角线，经过圆心O，点E在的延长线上，与的延长线交于点F，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，⊙半径为5，求的长．
25. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
（2）若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
26. 已知二次函数，图象记为．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在（1）条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图像，记为．设上的一点的坐标为．
①当满足______时，随的增大而增大；
②当时，过点作轴垂线，分别交，于点，．若将的面积分成两部分，求点坐标；
（3）若点，在二次函数图象上，直接写出的取值范围．泰州市民兴中英文学校
初三数学2024年春学期第一次月度独立作业
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意：本卷共26道题，所有答案一律填写在答题卡上，写在试卷上无效
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在括号内）
1. 下列各数是负数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解：，是正数，故 A 选项不符合题意；
，是正数，故 B 选项不符合题意；
，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A、，正确，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 若，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．
【详解】解：，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
5. 如图，二次函数的图像经过点和点．关于这个二次函数的描述：①，，；②当时，y的值等于1；③当时，y的值小于0．正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口方向向下，则．
对称轴在轴的右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．故①正确；
②抛物线与轴另一交点横坐标，
抛物线的顶点横坐标．
抛物线开口向下，且过点，
点关于对称轴对称的点的横坐标不等于2，
当时，的值不等于1，故②错误；
③观察函数图象，可知：当时，的值小于0，故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”．若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A. 12 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形” 面积．
【详解】解：过点作轴于点，连接、，如图．
点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形” 面积为；
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
7. 某粒子的直径约为0.000 000 21米，用科学记数法表示0.000 000 21是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可 ．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．
8. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意可得且，求出x的取值范围即可．
【详解】解:∵有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
9. 因式分解：______．
【答案】a2(4+b)(4-b)
【解析】
【分析】先提公因数，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：16a2-a2b2=a2(16-b2)=a2(4+b)(4-b)．
故答案为：a2(4+b)(4-b)．
【点睛】本题考查因式分解，因式分解时，对有公因式的先提公因式，然后利用乘法公式继续分解，直至不能分解为止．
10. 分式方程的解为x=______．
【答案】5
【解析】
【分析】将分式方程化为整式方程，然后利用解整式方程的方法求解并检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并得：，
检验：当时，最简公分母，
∴该分式方程的根为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
11. 一元二次方程的两个根为，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
12. 如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．
【答案】108
【解析】
【分析】根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．
【详解】
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．
13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：由数轴得，a>2且a<5，
所以a-5<0，a-2>0，
原式=5-a+a-2=3．
故答案为：3
14. 若直线与坐标轴围成的三角形面积是6，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由直线与坐标轴围成的三角形面积是6，得，则或，故需分这两种情况讨论．
【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形面积是6，
．
①当时，的图象如图1．
当时，，则，此时．
当时，，故，则，此时．
．
或（不合题意，故舍去）．
②当时，的图象如图2．
当时，，则，此时．
当时，，故，则，此时．
．
（不合题意，故舍去）或．
综上：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积公式是解决本题的关键．
15. 如图，在平行四边形中，在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，与y轴交于点E．若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】证明，则，解得，设，，则，，，则，即，由可得的值，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
∴，解得，
设，，则，，，
∴，则，即，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
【答案】2，，1
【解析】
【分析】将代入，得，由函数的图象上存在唯一“平衡点”，可得有两个相等的实数根，，求解即可．
【详解】解：将代入，得：
，即，
函数的图象上存在唯一“平衡点”，
有两个相等的实数根，
，
解得：或，
当时，是一次函数，有唯一“平衡点”，
故答案为：2，，1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，新定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“平衡点”的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【小问1详解】
解：原式．
．
【小问2详解】
原式．
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，分式的运算法则是解题的关键．
18. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】解：（1），
∵，
∴，
∴，
∴，；
（2），
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．
19. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
（1）班 8 8 c 1.16
（2）班 a b 8 1.56
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
（2）a，b，c的值分别为8，9，8
（3）（1）班成绩更均匀
【解析】
【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【小问1详解】
解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
【小问2详解】
由题意知：
a＝＝8；
∵9分占总体的百分比为28%是最大的，
∴9分的人数是最多的，
∴众数为9分，即b＝9；
由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，
∴c＝＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
【小问3详解】
∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，
∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
20. 把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种，
∴构成的数是三位数且是回文数的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 广西的“三月三“是壮族的传统节目，为庆祝“三月三”，某学校准备举办“壮乡三月三歌舞节”，学校计划购买杜鹃花和满天星两种花卉共46盆，且柱鹃花盆数不少于满天星盆数的2倍．已知杜鹃花每盆9元，满天星每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买杜鹃花和满天星，问可购买杜鹃花和满天星各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种花卉总费用的最小值．
【答案】（1）购买杜鹃花38盆，购买满天星8盆
（2）购买两种花卉总费用的最小值为369元
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次不定方程的整数解、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案；
（2）设购买杜鹃花m盆，购买满天星盆，购买两种花卉总费用为w，根据题意求出m的范围，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设购买杜鹃花x盆，购买满天星y盆，
由题意得：，
解得：，
答：购买杜鹃花38盆，购买满天星8盆；
【小问2详解】
解：设购买杜鹃花m盆，购买满天星盆，购买两种花卉总费用为w，
由题意得：，
解得：，
由题意的：，
∵，
∴w随m的最大而增大，
∵，
∴当时，w取最小值，此时，
答：购买两种花卉总费用的最小值为369元．
22. 如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】160米
【解析】
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F ，设米，则米，再证得四边形是矩形，可得米，米，从而得到米，在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F ．
在中，，
∵，
∴．
设米，则米．
∵
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米．
在中，，
∵，
∴，解得： ．
∴（米）．
答：河流的宽度为160米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）＞；（3）,△BMN的面积最大为
【解析】
【分析】（1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；
（2）不等式2x＋6－＞0即不等式＞，结合图象可得答案；
（3）先求解的坐标，再求解的长度，利用三角形的面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最大值即可.
【详解】解：（1） 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），
反比例函数的解析式为：
（2）
观察图象，可得当x＞0时，不等式2x＋6－＞0的解集为： ＞.
（3）与x轴交于点B，
令 则
直线y＝n与 反比例函数分别交于
当时，
同理：
0＜n＜6
而函数的对称轴为：，＜
当时，最大，
最大面积为：
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的性质，利用待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，熟练的列二次函数的关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最值是本题的难点.
24. 如图，是四边形的外接圆．是四边形的对角线，经过圆心O，点E在的延长线上，与的延长线交于点F，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，⊙半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，推出是等边三角形，得到，根据等腰三角形的性质得到结论；
（3）设，，根据勾股定理得到，求得， ，根据相似三角形的性质即可得到结论
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查了角平分线，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
25. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
（2）若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
【答案】（1）图像见解析；①3，2，；②；
（2），
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，
（1）用描点法画出图象即可．
①根据函数图象的平移规律即可解答；
②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答．
（2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值．
灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键．
【小问1详解】
解：画出的图象如图所示：
①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案为：3，2，．
②当时，有，即．
由图象可得：当时，．
【小问2详解】
面积扩大两倍后的这块布料周长．
当时，即当，时，取最小值．
26. 已知二次函数，图象记为．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图像，记为．设上的一点的坐标为．
①当满足______时，随的增大而增大；
②当时，过点作轴垂线，分别交，于点，．若将面积分成两部分，求点坐标；
（3）若点，在二次函数图象上，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②点P坐标为或
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的面积问题，二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把代入即可求得抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①根据二次函数性质即可解答；
②根据题意可得的解析式为，可得， ，，分两种情况：当时，，当时，，分别建立方程求解即可得出答案；
（3）由，可得抛物线的顶点坐标为，当时，顶点为最高点，当时，顶点为最低点，列出不等式求解即可．
[小问1详解】
当时，，
所以该二次函数图象的顶点坐标为；
【小问2详解】
①的图象是将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，
的图象开口向上，最低点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，n随m的增大而增大；
故答案为：．
②的解析式为，
设，则，
，
由，得或，
，
由对称性知，，
，，
当时，，
，即，
解得，
；
当时，，
，
即，
解得，
；
综上所述，点P坐标为或；
【小问3详解】
的取值范围为或．
理由如下：
，
抛物线的顶点坐标为，
当时， ，
解得，
当时，，
解得；
的取值范围为或．
