中考复习——二次函数专题
一、单选题
1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣3，2），则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=（x-2）2-1的顶点坐标是（ ）
A．(-2，1) B．(-2，-1) C．(2，1) D．(2，-1)
3．若将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线 上有三个点A（-4，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点P为抛物线y=x2+2x﹣3在第一象限内的一个动点，且P关于原点的对称点P′恰好也落在该抛物线上，则点P′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣ ）
C．（﹣ ，﹣2 ﹣1） D．（﹣ ，﹣2 ）
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ac>0． B．ac=0．
C．ac<0． D．ac的符号不能确定．
7．对于抛物线y=4x﹣4x2+7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为（2，﹣3）；③对称轴为直线x= ；④点（﹣2，﹣17）在抛物线上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
9．已知，平面直角坐标系中，直线 y1=x+3与抛物线y2=﹣ +2x 的图象如图，点P是 y2 上的一个动点，则点P到直线 y1 的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝ x+ 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜ 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
二、填空题
11．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2+3的图象上两点，则 （填“＞”、“＜”或“=”）
12．二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线.则 .
13．如图，记函数y=|-2x2+8x-6|的图象为C1.若直线y=x+m与C1有4个不同的交点，则m的取值范围
14．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为 ．
15．如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，在抛物线上找到一点D，使得∠DCB=∠ACO，则D点坐标为
三、解答题
16．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标．
17．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
18．某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（ ）随销售单价x（元/ ）的变化而变化，满足函数关系式 ，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
19．如图，抛物线与直线交于两点（点在点的左侧）．
（1）求两点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为，连接，试求的面积．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式．
（2）若当时，的最小值是，则当时，求的最大值．
（3）已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值．
21．一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，在滑道上设置了几个固定的计时点，测得一些数据（如表格）．
为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似的位于某条抛物线上．于是，我们用二次函数来近似的表示s与t的关系．
（1）在位置①处，当时，，所以 ；
（2）有一个计时点的计时装置出现了故障，请同学们用平滑曲线连接这些绝大部分的点 ，通过观察发现故障点的位置编号可能是 ；
（3）利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为 s（结果保留一位小数）；
（4）求s与t的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．P，Q同时出发，分别到B，C后停止移动．设△PQD的面积为S，点移动的时间为x (x>0)．
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？
23． 如图，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣3，2），
∴a（﹣3）2=2，
即9a=2，
所以，a= ．
故选A．
【分析】将点P的坐标代入函数解析式，然后解方程即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：因为y＝（x 2）2-1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】形如“y＝a（x h）2-k”的二次函数就是抛物线的顶点式，其顶点坐标为（h,k）.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得到抛物线为： ．
故答案为：C．
【分析】根据 将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 求抛物线解析式即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】分别计算出自变量为-4，-2和1时的函数值，然后进行比较大小.
5．【答案】D
【解析】【解答】设P点的坐标为（x，y），
∵点P′与点P关于原点对称，
∴点P′的坐标为（﹣x，﹣y），
把点P（x，y）和点P′（﹣x，﹣y）代入y=x2+2x﹣3得：
，解得： ， ，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为 ，
∴点P′的坐标为 .
故答案为：D．
【分析】设P点的坐标为（x，y），根据关于原点对称点的坐标特点，可得出点P′的坐标，由点P和点P′在抛物线上，因此将这两点坐标代入函数解析式，求出x、y的值，再根据点P在第一象限，可得出点P′的坐标。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线与y轴相交于y轴的正半轴，∴c＞0，
∴ ac>0．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，确定a的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，继而判断即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=﹣4x2+4x+7=﹣4（x﹣ ）2+8，
∴抛物线开口向下，所以①错误；
抛物线顶点坐标为（ ，8），所以②错误；
抛物线对称轴为直线x= ，所以③正确；
∵x=﹣2时，y=﹣4（x﹣ ）2+8=﹣1，
∴点（﹣2，﹣17）不在抛物线上，所以④错误．
故选B．
【分析】先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对①②③进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．
8．【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，
当直线y=x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，
由 ，消去y得到：x2-2x+2b=0，
当△=0时，4-8b=0，
∴b= ，
∴直线的解析式为y=x+ ，
如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+ 交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（-3，0），B（0，3），C（- ，0），
∴OA=OB=3，OC= ，AC= ，
∴∠DAC=45°，
∴CD= = ，
∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE=CD= ，
故答案为：B．
【分析】设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，当直线y=x+3与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+ 交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，想办法求出CD的长即可解决问题.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令 x+ ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2
故答案为：C．
【分析】由两个图像有两个不同交点，令 x+ ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，由根的判别式△＞0可得a的范围；对抛物线二次项系数分a＞0和a＜0，根据题意列出不等式组即可。
11．【答案】y1＜y2
【解析】【解答】解：
∵y=（x﹣1）2+3，
∴二次函数开口向上，对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵1＜2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
【分析】二次函数开口向上，对称轴为x=1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，所以y1＜y2。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：由二次函数y＝（x-1）（x-a）（a为常数）知，
当y=0时，，
解得，，
该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）.
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴＝2.
解得a＝3；
故答案为：3.
【分析】令解析式中y=0算出对应的自变量x的值，从而可得抛物线与x轴两交点的坐标，进而根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴直线等于两交点横坐标和的一半列出方程，求解即可.
13．【答案】-1＜m＜
【解析】【解答】解：令y=0，代入y=-2x2+8x-6，得x1=2，x2=3，
∴图象C1与x轴的交点坐标为：（1，0），（3，0），
当直线y＝x＋m与抛物线y=-2x2+8x-6（1≤x≤3）相切，
直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，
∴2x2-7x+6+m=0有两个相等的根，
∴ = ，解得：m= ，
当直线y＝x＋m过（1，0）时，直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点
此时m=-1，
∴当-1＜m＜ 时，直线y=x+m与C1有4个不同的交点，
故答案为：-1＜m＜ .
【分析】先求出图象C1与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），当直线y＝x＋m与抛物线y=-2x2+8x-6（1≤x≤3）相切，可知直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点求出m的值，当直线y＝x＋m过（1，0）时，直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，此时m=-1，利用图象可知当-1＜m＜ 时，直线y=x+m与C1有4个不同的交点.
14．【答案】（0， ）
【解析】【解答】解：如图
由 可解得 或 ，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝ ，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴交于P，则此时△PAB的周长最小，
∵点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
∴可设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
则由 可得
∴直线A′B的函数解析式为y＝ ，
∴当x＝0时，y＝ ，
即点P的坐标为（0， ），
故答案为：（0， ）．
【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标．
15．【答案】 或（-4，-5）
【解析】【解答】解：如图，符合题意的有 ，过点A作AG⊥CD1，交CD1于点G，交OC于点H；过G分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F.
由抛物线 可得 ，
∴OB=OC=3，OA=1.
∴ ，
∴
∴
即
又∵AG⊥CD1，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴CG=AG= ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴GE=GF，
则四边形OEGF是正方形，
∴GE=GF=OF=OE，
在Rt△AEG中，由 ，解得EG=1，
则G（-1，1），
可求得直线CG：y=2x+3，
由 ，解得 ，
∴D1（-4，-5）；
∵
∴直线CD1与直线CD2关于直线BC对称，
可设点G（-1，1）关于直线BC的对称点为G’（m，n），
则线段GG’的中点 在直线BC：y=x+3上，且CG=CG’，
∴ ，
解得
∴点G’（-2，2），
则可求得直线CG’为：y= .
由 解得 ，
∴D2 .
故答案为 或（-4，-5）
【分析】符合条件的两个点D分别在直线BC的两旁，作出图形；分别求出点A，B，C的坐标可得OB=OC=3，OA=1， ，则可转化得到 作AG⊥CD1，构造△ACG等腰直角三角形，构造弦图可证明 ，结合勾股定理求出点G的坐标，从而可求得直线CG的解析式，联立两个解析式求出D1；由对称的性质及中点坐标公式，求出点G关于直线BC的对称点G’，从而可得直线CG’的解析式，联立两个解析式，可得点D2的坐标.
16．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：把代入得，
解得，，
点坐标为或．
【解析】【分析】(1)题中已知抛物线顶点求解析式，采用顶点式y=a(x-m)2+k即y=a(x-1)2-4较为方便，然后再代入图象上的另一点（0，-3），即可求得a=1，故抛物线解析式为y=(x 1)2 4.
(2) 已知点B(m，12)在该函数图象上求B的坐标，只需将y=12代入求得的解析式解方程即可.
17．【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），
设抛物线解析式为y＝ax2+5，
将点A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣ ，
则抛物线解析式为y＝﹣ x2+5，
当y＝4时，﹣ x2+5＝4，
解得：x＝ ，
则两盏景观灯之间的水平距离2 m．
【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（0，5），抛物线的左端点坐标为（﹣5，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．
18．【答案】（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y=（x-50） w-3000=（x-50） （-2x+240）-3000=-2x2+340x-15000；
∵y=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550，
∴当x=85时，y的值最大为-550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
∴（x-50） （-2x+240）=2250，
解得，x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【解析】【分析】（1）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程，再化简即可；
（2）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程求解即可。
19．【答案】（1）解：解得 ∴，
（2）解：作轴交直线于点
∵∴顶点 时
∴∴
∴
【解析】【解答】（1）联立方程组可得，
解得或，
∵点在点的左侧，
∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（7，），
故答案为：（2，1），（7，）；
（2）作轴交直线于点，如图所示：
∵抛物线的解析式为，
∴顶点C的坐标为（4，-1），
将x=4代入，可得y=×4=2，
∴点D的坐标为（4，2），
∴CD=2-（-1）=3，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）联立方程组，求出x、y的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）作轴交直线于点，先求出顶点C的坐标，再求出点D的坐标，可得CD的长，最后利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
20．【答案】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，的最小值是，即在顶点处取得最小值，
即，则，
则抛物线的表达式为：，
当时，取得最大值，即；
（3）解：由两个函数的表达式知，两个交点其中一个为：，
两个交点到轴的距离相等，
则另外一个交点只能在轴下方，即交点的纵坐标为，
当时，，则，
即另外一个交点的坐标为：，
将代入抛物线表达式得：，
解得：．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值即可求解；
（2）当时，y的最小值是-1，即在顶点出取得最小值，求出 ，得到此时的表达式为 ，进一步可求出最大值；
（3）由两个函数的表达式知，两个交点其中一个为：（0，1），两交点到x轴的距离相等，所以另外一个交点只能在y轴的下方，即交点坐标为-1，进而求解.
21．【答案】（1）
（2）画图如下，；③
（3）如图，
（4）解：由题意得，图象经过，，则有
，
解得：，
，
当时，
当时，
，
，在抛物线上，
s与t的函数关系式（），
当时，
（），
答：s与t的函数关系式（），滑雪者在故障位置的滑行距离．
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴0+0+c=0，即c=0，
故答案为：0.
（3）由图象可知： 当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为s；
故答案为： .
【分析】（1）将时，代入函数解析式，即可求解；
（2）观察图象可知，除了③号点，其它各点都在同一个抛物线上，据此判断即可；
（3）由图象求出当此滑雪者滑行距离为30m时对应的t值即可；
（4）利用待定系数法求出， 再确定 （3，28.5），在抛物线上， 从而确定s与t的函数关系式，再求出t=1.5时的s值即可.
22．【答案】（1）解：由题意可知点P从点A移动到点B，点Q从点B移动到点C，均需要6s，则0
∵ AB=6，AP=x， BC=12， BQ=2x，
∴ BP=6-x， CQ=12-2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD=6，AD=BC=12，BA⊥AD，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△APD、△BPQ、△CDQ是直角三角形，
∴S△APD= AD×AP， S△BPQ=BP×BQ，S△CDQ=CD×CQ ，
∴ S△APD+S△BPQ+S△CDQ= (12x+(6-x)×2x+6(12-2x))=-x2+6x+36.
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=12，
∴S矩形ABCD=AB×BC=72，
∴ S=72-(-x2+6x+36)=x2-6x+36，
即S关于x的函数解析式为S= x2-6x+36 (0
∴当x=3时，S有最小值27，
故经过3s时，△PQD的面积最小.
【解析】【分析】（1）利用两个点的运动方向和速度，可分别表示出AP，BQ，BP，CQ的长；再利用三角形的面积公式可得到S△APD+S△BPQ+S△CDQ与x的函数解析式，再求出矩形ABCD的面积，然后可得到s与x的函数解析式，同时可求出x的取值范围.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出△PQD的面积的最小值，同时可求出此时x的值.
23．【答案】（1）解：∵y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣（x+）2+，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
对称轴为直线x＝﹣；
（2）解：如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）
【解析】【解答】解：（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴，
解得：，
∴直线NB的解析式为：，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB＝，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：，
解得：，
∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为．
【分析】（1）先根据二次函数与坐标轴的交点即可得到A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），进而根据对称轴公式即可求解；
（2）过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，进而得到M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△OBC≌△QNB（AAS）即可得到BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，进而即可得到点N的坐标；
（3）先运用待定系数法设一次函数的解析式，进而将点代入即可求出一次函数的解析式，从而分类讨论：当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB＝，当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点，再联立一次函数和二次函数即可求解。
