2022 级初二下学期数学学科单元学情检测
一、选择题(每题3分，共36分)
1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键．
根据最简二次根式的定义进行解题即可
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
2. 若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可．
详解】解：式子有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
3. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式的化简，根据二次根式得出，然后再进行化简即可，注意符号的变化是解题关键．
【详解】解：∵
∴，
即，
∴，
故选：B．
4. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
5. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. 2019 C. D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值以及运用完全平方公式进行计算，熟练中午那个相关运算法则和运算公式是解题关键．根据题意可得，然后将整理为，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
6. 已知，则m的值在（）
A. 5与6之间 B. 与之间 C. 4与5之间 D. 与之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小．先化简m，估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
∴m的值在5与6之间，
故选：A．
7. 如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13, 2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得(a ＋b)2的值.
【详解】（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13－1）＝25，故答案选C.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解本题的要点在于注意完全平方公式的展开: （a＋b）2＝a2＋b2＋2ab,还要注意图形的面积和a,b之间的关系.
8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先由的对角线与相交于点O，得根据条件，，得出的值，再结合勾股定理列式，即可作答．
【详解】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
9. 如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果．
【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，
是的角平分线，Q与关于对称，
点在上，，
，
，
即，
，
，
的最小值为．
10. 如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
四边形的面积
．
故选：A．
11. 四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（）
A. 1.8 B. 2 C. 2.3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，如图所示，由折叠性质得到，根据题意，设，则，在和中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
四边形是边长为9的正方形纸片，
，，
设，则，
在中，，即；
，
，
在中，，即；
，即，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及折叠性质、正方形的性质、勾股定理和解方程等知识，熟练掌握折叠性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A. （3，4），（2，4） B. （3，4），（2，4），（8，4）
C. （2，4），（8，4） D. （3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）
【答案】B
【解析】
【分析】分为两种情况：①OD＝OP，求出CP，即可求出P的坐标；②DP＝OD＝5，此时有两点，过P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐标．
【详解】解：有两种情况：
①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设ON=x，则DN=5-x，P′N=4，D P′=5，
由勾股定理得：42+（5-x）2=52，
解得：x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；
假设OP=PD，则由P点向OD边作垂线，交点为Q，
则有PQ2十QD2=PD2，
∵OP=PD=5=OD，
∴此时△OPD为正三角形，于是PQ=4，QD=OD=，PD=5，代入PQ2十QD2=PD2，不成立，所以排除此种可能．
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：一定要进行分类讨论．
二、填空∶(每题3分，共12分)
13. 已知：x，y为实数，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质以及代数式求值，分式有意义，先化简，结合分式有意义得，再算出，然后代入，即可作答．
【详解】解：∵
∴得
解得．
又∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
14. 在平行四边形中，的平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是________．
【答案】20或22
【解析】
【分析】由平行四边形性质得，，再证，然后分和两种情况分别求出平行四边形的周长即可．
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质、证明是解题的关键．
【详解】解：如图：∵平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴①当时，平行四边形的周长为；
②当时，平行四边形ABCD的周长为．
故答案为：20或22．
15. ，，，…请你将发现的规律用含有自然数的等式表示出来为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，先找出这些式子运算的一般规律，再用含有n的式子表示出来即可．
【详解】解：，
，
，
…
上述式子的规用含自然数n（n为正整数）的代数式可表示为．
故答案为：．
16. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
三、解答题∶(共72分)
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；
（2）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减乘除运算法则求解即可得到答案；
（3）先由平方差公式、二次根式性质化简，再由去绝对值及分母有理化计算，最后由二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式、去绝对值、分母有理化、二次根式加减乘除运算等知识，熟练掌握二次根式性质化简及二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
18. 先化简，再求值∶，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对分式分子分母因式分解，利用二次根式性质化简，再约分、去绝对值得到化简结果，代值求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、二次根式性质、去绝对值运算、分式加减运算、约分及代数式求值等知识，熟练掌握分式混合运算及二次根式性质是解决问题的关键．
19. 如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）这个梯子的顶端离地面有24米
（2）梯子底端在水平方向滑动8米
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
【小问1详解】
解：在中，，
则
即
答：这个梯子的顶端离地面有24米．
【小问2详解】
∵则
在中，
，
∴，
则
答：梯子底端在水平方向滑动8米．
20. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
（1）模仿材料中的计算方法，化简______；
（2）求解：；
（3）为正整数，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值：
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先证明，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案；
（3）先求出，进而得到，则可推出；求出，，得到，即可求出．
【小问1详解】
解：
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
∴
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. (1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解；
（2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键．
22. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【答案】（1）（2）（3）；②③ ④
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据已知可得AC的长，AP的长，从而可得PC的长，在直角三角形BCP中利用勾股定理即可求得；
（2）作PH⊥AB，由已知可得PH=PC=4t-8，PB=14-4t，在Rt△BPH中，由勾股定理即可得；
（3）分情况计谋即可得.
试题解析：（1）点P在AC上，∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10，∴AC=8，
AP=4t，CP=8-4t，
又∵PA=PB，∴，
t=；
（2）点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，
∴PC=PH=4t-8，PB=14-4t，
可证△ACP≌△AHP， ∴AH=BC=8，∴BH=2，
在Rt△BPH中，，即，
t=；
（3）①当PC=BC=6时，此时AP=AC-PC=2，∴t==；
②当PC=BC时，作CH⊥AB，则有PH=BH，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，由已知则有BP=4t-14，由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14,
所以4t-14=7.2，解得 ；
③当PC=BP时，作CH⊥AB，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，
由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14, 所以PH=4t-14-3.6=4t-17.6，
由勾股定理可得CH2+PH2=PC2 ，即4.82+（4t-17.6）2=（4t-14）2 ，解得；
④当BC=BP时，此时BP=4t-14，所以4t-14=6，解得，
综上可知，当t为、、 或时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用以及等腰三角形的判定等，能正确地审题并能分类进行讨论是解题的关键.2022 级初二下学期数学学科单元学情检测
一、选择题(每题3分，共36分)
1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. 2019 C. D. 2023
6. 已知，则m的值在（）
A. 5与6之间 B. 与之间 C. 4与5之间 D. 与之间
7. 如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（）
A. B. 3 C. D. 5
10. 如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 四边形是边长为9正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（）
A1.8 B. 2 C. 2.3 D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A. （3，4），（2，4） B. （3，4），（2，4），（8，4）
C. （2，4），（8，4） D. （3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）
二、填空∶(每题3分，共12分)
13. 已知：x，y实数，，则________．
14. 在平行四边形中，的平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是________．
15. ，，，…请你将发现规律用含有自然数的等式表示出来为________________．
16. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________．
三、解答题∶(共72分)
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）．
18. 先化简，再求值∶，其中．
19. 如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
20. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
（1）模仿材料中的计算方法，化简______；
（2）求解：；
（3）为正整数，且，求的值．
21. (1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
22. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
