解答题专项二 三角函数中的综合问题
解答题专项练
1.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在0,上的最大值为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g=,求sin 2α的值.
2.(2023·辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=a·b-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(,cos x)(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=,b2=ac,求的值.
3.(2023·山东烟台高三期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin B,点D在边AB上,且CD⊥AB.
(1)证明:CD=c;
(2)若a2+b2=ab,求∠ACB.
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b.
(1)求C;
(2)若AB=AC,D是△ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当∠D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值.
解答题专项二 三角函数中的综合问题
解答题专项练
1.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在0,上的最大值为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g=,求sin 2α的值.
解:(1)因为0<ω<1,所以周期T=>2π,
又f(x)在0,上的最大值为,且f=f,
所以当x==时,f(x)取得最大值,
所以A=,且f=,
即sinω+=.
因为0<ω<1,
所以ω+,
故ω+,解得ω=,
故f(x)=sinx+.
(2)由于g(x)=f(3x)=sin2x+,
又g=sinα+=,
则sinα+=,
故sin 2α=-cos2α+=2sin2α+-1=-.
2.(2023·辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=a·b-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(,cos x)(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=,b2=ac,求的值.
解:(1)f(x)=a·b-1=(sin 2x,2cos x)·(,cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin2x+,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
(2)因为f=2sin=,
所以sin=,
又B∈(0,π),∈,
所以,所以B=.
因为b2=ac,所以sin2B=sin A·sin C.
于是.
3.(2023·山东烟台高三期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin B,点D在边AB上,且CD⊥AB.
(1)证明:CD=c;
(2)若a2+b2=ab,求∠ACB.
(1)证明:在△CDB中,因为CD⊥AB,
所以sin B=.
因为sin C=2sin Asin B,
所以=2sin B.
所以=2·.
在△ABC中,根据正弦定理,得,
所以=2·,
故CD=c.
(2)解:在△ABC中,S△ABC=absin C=×c×CD,
又由(1)知,CD=c,所以c2=2absin C,
在△ABC中,根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,
又由已知a2+b2=ab,得2absin C=ab-2abcos C,
所以sin C+cos C=,则sinC+=,
即sinC+=.
因为C∈(0,π),则C+∈,
所以C+或C+,
所以C=或C=,
又点D在边AB上,且CD⊥AB,CD=c,
所以∠ACD,∠BCD中必有一个大于等于,
所以C=.
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b.
(1)求C;
(2)若AB=AC,D是△ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当∠D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值.
解:(1)∵2ccos B=2a-b,
∴2sin Ccos B=2sin A-sin B.
又A=π-(B+C),
∴2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B,
即2sin Bcos C=sin B.
∵sin B≠0,∴cos C=.
∵0
∴△ABC是等边三角形.
设AC=x,∠D=θ,
∵AD=2,CD=1,∴S△ABC=x2,S△ADC=×AD×CD×sin D=sin θ.
由余弦定理,得AC2=x2=1+4-4cos θ=5-4cos θ,
∴S=S△ABC+S△ADC=x2+sin θ
=(5-4cos θ)+sin θ
=+sin θ-cos θ
=+2sinθ-.
∵0<θ<π,
∴-<θ-,
∴当sinθ-=1,即θ=时,平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax=+2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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