天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线在处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D． 5
2．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．60 B．90 C．180 D．210
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4． 的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． 10 D．30
5．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值
C．在区间上单调递减 D．当时取得最小值
6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
10．设函数，为其导函数，则______．
11．______．
12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．
13．在的展开式中，的系数是______．（用数字作答）
14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）
15．已知函数，当时，有极大值，则的取值范围为______．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求的极值．
17．（本小题满分12分）
班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．
（1）每个小组有多少种选法
（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法
（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法
18．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与y轴相交于点．
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最小值．
19．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若在点处取得极值．
①求a的值；
②证明：；
（2）求的单调区间．
20．（本小题满分12分）
已知函数，，．
（1）求函数的导数；
（2）若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；
（3）设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C B B C B A C D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
10． 11．0 12．100
13． 14．48 15．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为R，导函数，
令，解得，
则，随x的变化情况如下表：
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 取极大值 单调递减 取极小值 单调递增
故函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16；
当时，函数取得极小值．
17．（本小题满分12分）
解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为；
（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为，
再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为，
因此还要从选出的同学中指定1名作替补，
那么每个小组的选法种数为．
（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为．
18．（本小题满分12分）
解：（1）因为，
所以，
令，则，．
所以曲线在点处的切线方程为．
由点在切线上，可得，解得．
（2）由（1）得
所以
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如表所示．
x 2
＋ 0 －
单调递增 单调递减
又由于，．
所以，当时，取得最小值8．
19．（本小题满分12分）
解：（1）①，
因为在点处取得极值，
所以；所以．
②中①得，，
令，解得，
当x变化时，，的变化情况如表所示．
x 1
－ 0 ＋
单调递减 1 单调递增
所以，当时，取得最小值．
所以，即．
（2）函数的定义域为，
，
当时，恒成立，
所以的单调递增区将为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
20．（本小题满分12分）
解：（1） ，所以
（2）因为，，
所以，故在上单调递增，
所以，
又，所以在上也是单调递增，所以，
因为对任意的，，使成立，
等价于，
即，所以．
故实数a的范围是．
（3）由，即，
令，，
而，
令，，
则，即函数在上单调递增，
因为，，即，
所以存在唯一的，使得，即，
即，，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
所以，
又时，，
所以要使在存在零点，则，所以a的最小值为1．
