绝密★考试结束前
2023学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．12 C． D．
2．质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．勾股定理是数学史上非常重要的定理之一．若将满足的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值．
5．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水 种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布）．
参考数据：．下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的标准差是20
C．该地水 亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
6．已知定义在区间上的奇函数，不等式对任意都成立（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设集合，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．随机变量的分布列如下所示，则的最大值为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1
C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论是真命题的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰有两次取到白球的概率为：
C．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为；
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次又取到红球的概率为．
11．已知函数有两个零点，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C． D．若，则
非选择题部分
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
______．
14．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑．已知函数，其中[x]表示不大于的最大整数，当时，函数值域为集合，则集合上的含有4个元素的拓扑的个数为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）
设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值和极大值．
16．（本题满分15分）
有3名男生、3名女生，求在下列不同条件下各有多少种安排方法．（用具体数字回答）
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，3个男生中恰有两人相邻；
（3）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（4）将这6人分配到3个班级且每个班级至少1人．
17．（本题满分15分）
为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比．根据试验数据得到如下直方图：
（1）求残留百分比直方图中的值；
（2）估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值；
（3）在体内药物残留百分比位于区间[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间[6.5，7.5]的小鼠为只，求的分布列和期望．
18．（本题满分17分）
有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
（1）它是第1台机床生产的概率是多少
（2）它是次品的概率是多少．
（3）若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大 用具体数据说明．
19．（本题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：．
2023学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
选择题部分
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A D C B C D
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9 10 11
AD ABC ABD
非选择题部分
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12、20 13、 14、9
四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【答案】解：（1）由题意知，，即切点为，
又，所以，
所以在处的切线方程为：，即；
（2），令得，
得或，（计算错误但有或的写给1分）
故的减区间为，增区间为和，（写对一个给1分）
函数的极大值，又，（写对一个给1分）
在上的极大值是13，最大值是62．（写对一个给1分）
16．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
17．【详解】（1）由题知，，解得．（计算错误但式子列对写给1分）
（2）由图知，．（计算错误但式子列对写给2分）
（3）体内药物残留百分比位于区间内的频率为0.1，位于[6.5，7.5]内的频率为0.05．则百分比位于区间[5.5，6.5）内的小鼠有10只，位于[6.5，7.5]内的小鼠有5只，（写对一个给1分）
的所有取值为0，1，2，3，（的取值都写对给1分）
所以，，
，（每个1分）
所以，的分布列如下：
0 1 2 3
由期望公式得．
18．【详解】
（1）它是第1台机床生产的概率，
（2）设事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，
，
（3个条件概率有一个表示正确且结果正确就给1分）
现任取一个零件，它是次品的概率
（公式对1分）
注：学生如果直接写且结果正确此小题给满分．
（3），
同理可得；
所以它是第3台机床生产的可能性最大．（结果判断正确但3个概率值计算有错误给1分）
19．【答案】解：（1）由题意得：的定义域为，
，（求导正确但通分后错误仍然给1分）
令，
当，即时，恒成立，
即：，在上单调递减，（有考虑给1分）
当，即时，
令，解得：，
当时，，即；当时，，即，在上单调递减；在上单调递增，（3个区间每个1分）
（2）在定义域上有两个极值点
由（1）知且是方程的两个不等实根，
则，（有韦达定理但结果错误给1分）
，
设，则，
，，则在上为减函数，
，则成立．
