海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高二年级下学期
期中考试数学试题A卷
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1.已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
3.老师有6本不同的课外书要分给甲 乙 丙三人，其中甲分得2本，乙 丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A.248种 B.168种 C.360种 D.210种
4.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．
A． B．1 C． D．2
5.下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
6.的展开式中的系数为（ ）
A． B．1 C． D．20
7.已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8.设首项为1的数列的前n项和为，已知，
现有下面四个结论
①数列为等比数列；
②数列的通项公式为；
③数列为等比数列；
④数列的前n项和为.
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.设集合，则（ ）
A. {2，3} B. {1，2，3，5} C. {1，2，5} D. {1，5}
10.设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（ ）
① ② ③
④ ⑤
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（ ）
气温x/℃ 5 10 15 20 25
杯数y 26 20 16 14 14
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
12.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 20
13.（双选）已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．若m，，，则的最小值为是
D．存在m，n，，且，使得
14.（双选）下列说法正确的有（ ）
A．随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大
B．随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为
C．根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
D．若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关
二、非选择题（共58分）
15.（8分）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 。
16.（10分）某中学预计在“五 四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法．
(1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？
(2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？
(3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答）
17.（10分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围。
18.（10分）在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)名男生相邻有多少种不同的站法？
(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(4)甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等）
(5)从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色的朗通，有多少种选派方法？
19.（10分）（1）设函数．求的极大值；
（2）求证：时，。
20.（10分）为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图：
（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；
（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率。
参考答案
1.D2.A3.D4.C5.B6.C7.B8.B9.B10.C11.A12.C13.BC14.AD
15.【答案】
【解析】当时，无零点，所以.
由，可得，令，其中，
因为函数有三个零点，
所以直线与函数的图象有三个公共点，
，由，可得或，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
如下图所示：
由图可知，当，即时，直线与函数的图象有三个公共点，
即有三个零点，所以实数的取值范围为
16.【答案】(1)14400(2)30960(3)20160
【解析】（1）解：根据题意，分2步进行分析：
①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位，
②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况，
则三个发言不能相邻的排法有＝14400种；
（2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况，
励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况，共有：＝30960种情况．
（3）根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列。
共有的方法数：＝20160种情况。
17.【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）因为，，
所以，，
若，即，
当时，，函数单调递减；
若，，当时，，函数单调递增；
若时，即，，
若时，，函数单调递减；
若时，，函数单调递增；
综上所述，当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减；函数在单调递增．
当时，函数在单调递增．
（2）因为，
所以，即对任意恒成立，
设，则，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，
若，则，
若，因为，且在上单调递增，
所以，
综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，，则，所以在单调递增，
所以，即的取值范围为．
18.【答案】(1)1440；
(2)576；
(3)3720；
(4)840；
(5)432.
【解析】
【分析】
（1）利用插空法求解；（2）利用捆绑法求解；（3）利用分类讨论求解；（4）利用缩倍法求解；（5）利用分步乘法原理求解.
(1)解：分步进行分析：
①将名男生全排列，有种情况，排好后有个空位，
②在个空位中任选个，安排名女生，有种情况，
故名女生不能相邻的排法有种；
(2)解：分步进行分析：
①将名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有种情况，
②将这个整体与名女生全排列，有种情况，
故名男生相邻的排法有种；
(3)解：分种情况讨论：
①女生甲站在右端，其余人全排列，有种情况，
②女生甲不站在右端有种站法，女生乙有种站法，其余人全排，
有种情况，
故一共有种；
(4)解：首先把名同学全排列，共有种结果，
甲、乙、丙三人内部的排列共有种结果，
要使甲、乙、丙三个人按照一个从高到低从左到右的顺序排列，
结果数只占种结果中的一种，
故有种.
(5)解：分步进行分析：
①名男生中选取名男生，名女生中选取名女生，有种情况，
②将选出的人全排列，承担种不同的角色，有种情况，
故有种.
19.【答案】（1）极大值0；（2）证明见解析
【解析】【分析】
(1)求导，解方程，判断单调性，然后可得极值；
(2)作差，构造函数，利用导数求单调区间，根据单调性可证.
【详解】
解：（1）由题意可知，函数的定义域为，，
故当时，，故函数在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减．
故当时，取到极大值，．
（2）要证时，，只需证：即可，
设，，则，
故当时，，故在上单调递增，
故当时，，即，∴。
20.【答案】（1）；众数40、中位数42.1，平均数41.5
（2）
【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；
（2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.
【小问1详解】
由题意得：，所以；
众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；
设中位数为x，则
平均数为：
则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为
【小问2详解】
利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人，
依题意，所求的概率为
