河南省TOP二十名校2024届高三下学期冲刺二数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为
A．50 B．53 C．57 D．45
2．已知，则
A． B． C． D．
3．已知，则
A． B． C． D．2
4．“”是“直线与直线平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为
A． B． C． D．
6．在教育部和各省份教育厅组织的九省联考后，预计在4月份左右完全按照高考模式进行高考志愿模拟填报，对于某校的甲、乙、丙、丁4名同学，现有数学与应用数学、计算机、信息安全与密码管理三个专业可供选择，每名同学只能填报其中一个专业，每个专业至少有一名同学填报，则甲同学不填报数学与应川数学专业的方案种数为
A．8 13，16 C．12 D．24
7．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为
A． B． C． D．
8．已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列正确的是
A． B． C． D．
10．过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则
A． B． C． D．
11．已知函数，则
A．的对称轴为 B．的最小正周期为
C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上．
12．已知集合，则______.
13．在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为______s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）______.
14．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，且．
（1）求点到平面PBC的距离；
（2）求直线CM与平面PBC所成角的正弦值.
17．（本小题满分15分）
Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
18．（本小题满分17分）
在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A、B两点为直线上一点且．点为直线与轴的交点．
（1）求双曲线的渐近线方程和焦距；
（2）若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积.
19．（本小题满分17分）
正整数数列的前项和为，前项积为，若，则称数列为“数列”．
（1）判断数列2，2，4，8是否是数列，并说明理由；
（2）若数列是数列，且．探究和的值是否唯一；
（3）是否存在等差数列是数列 请阐述理由．
2024届高三年级TOP二十名校冲刺二 数学参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D A D C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD BC AD
1．A 由这组数据共7个，所以这组数据的下四分位数为第2个数据，故选A．
2．B ，所以，故选．
3．B 因为，所以．故选B．
4．D 若，则有，所以或，
当时，，故，重合；
当时，，满足条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．
5．A 由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，斜边长为，故选A．
6．D 4名同学填报3个专业的方法共有种，其中甲同学填报数学与应用数学专业的方法有两种情况，若数学与应用数学专业有2名同学报考，则从乙、丙、丁三人中选择1人连同甲同学一起报考数学与应用数学专业，则有种情况，若数学与应用数学专业只有甲这1名同学报考，则从乙、丙、丁中选择2人报考其他两个专业之一，则共有种情况，故甲同学不填报数学与应用数学专业的方案一共有种，故选D．
7．C 设，由题意得，即，由椭圆定义得，则，且，则，所以，即，所以，故选C．
8．B 如图所示，根据题意可知．设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线AB分别切于两点，所以可知球的半径，此时球的直径为，即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的表面积，故选B．
9． 对于，因为，所以，所以错误；
对于，因为，所以正确；
对于，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以D正确，故选BCD．
10． 设点为点，抛物线的方程为，即，设，则切线PA，PB的斜率分别为，切线方程分别为，将的坐标及代入，并整理得，可得为方程的两个实数根，由韦达定理得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误，故选BC．
11． 作出函数的图象如图中实线所示．
方法一：对于，由图可知，函数的图象关于直线对称，对任意的
所以函数的对称轴为，A正确；
对于，对任意的，结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；
对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，
因为，所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误；
对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确，故选．
方法二：分析图象可知，选项正确，错误．故选AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．．
13． 由已知得，木棒做自由落体运动，设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为，所以
所以电子眼记录到木棒通过的时间为．
14． 由题意可得，
当时，则；当时，，可得，令，原题意等价于与有两个交点，．
当时，，可得，则，所以在上单调递增，可得，当趋近于时，趋近于；
当时，，可得，则，所以在上单调递减，可得，当趋近于时，趋近于．故的大致图象如图所示．
若与有两个交点，则，
即的取值范围是．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．解：（1）由题意知时，，故曲线在（1，处的切线方程为．…………………………………………………………………………4分
（2）的定义域为，且，
当时，则，……………………………………………………………………………………5分
令，解得，令，解得，
可得在上单调递减，在上单调递增；……………………………………………7分
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；……………………………………………………9分
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．……………………………………………………………………11分
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．………………………………………………………………13分
16．解：（1）取CD中点，连接AE，
因为，所以四边形ABCE为平行四边形，又，所以，
又因为平面平面ABCD，
所以，
所以以为坐标原点，AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，……………4分
则，
，
设平面PBC的一个法向量为，
，
所以，令，则，所以，……7分
所以点到平面PBC的距离为．………………………………………………8分
（2）由可得，
由（1）知平面PBC的一个法向量为，
所以，…………………………………………14分
所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为．………………………………………………………15分
17．解：（1）由题意可得………………………………………………………4分
即解得或……………………………………………………………………6分
由于，所以．……………………………………………………………………………8分
（2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题．
由题意得，，…………………………………………10分．…………………………………………………………11分
设甲、乙二人共答对3道题，则．
由于和相互独立，与互斥，
所以……………14分
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为．………………………………………………………………15分
18．解：（1）由题意可得双曲线的渐近线方程为，……………………………………………2分
，所以焦距为．………………………………………………………………5分
（2）设，
由，可得，
则，
所以．………………………………………………………………………7分
因为直线与双曲线交于轴上方的A、B两点，
所以，
解得，所以，……………………………………10分
所以，所以，由，
可得，解得，………………………………………………14分
所以，所以，
所以，于是．………………………………………………17分
19．解：（1）由题可知，此时有
1 2 3 4
2
2
1 1 2 8
该数列满足，所以数列2，2，4，8是数列．……………………………………4分
（2）因为数列是数列，
那么，则………………………8分
又因为数列是正整数数列，
若，则，
所以，则或．…………………………………………10分
当时，；同理当时，，………………………………12分
故或，故和的值不唯一．…………………………………………………………13分
（3）假设存在这样的等差数列是数列，且此数列是特殊的常数列，至少三项，设为数列a，a，a，其中．
所以，所以是2和3的公倍数，
令，显然该等差数列是数列，所以存在，故存在等差数列是数列．………17分
