2023学年第二学期北斗联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题（每小题5分共40分）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，下列命题正确的是（ ）
①，则 ②，，则
③，则 ④，则
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
3．已知非零向量，，则“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的（ ）条件
A．必要 B．充分 C．充要 D．即不充分也不必要
4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种。
A．120 B．240 C．480 D．720
5．已知等差数列，前n项和为，、是方程两根，则（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2024
6．空间点，，则点A到直线BC的距离（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）
9．已知直线：和直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则表示与x轴平行或重合的直线
B．直线可以表示任意一条直线
C．若，则
D．若，则
10．已知正项等比数列的公比为，前n项积为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．存在最大值
11．已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在定义域上单调递增
C．是偶函数 D．函数有两个极值点
三、填空题（每小题5分共15分）
12．复数，则的虚部为______．
13．一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______
14．三角形ABC，，，，D为AB边上一点，，，，则的最大值为______
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）函数，，求的最大值和最小值
16．（本题15分）如图多面体ABCDEF，底面ABCD为菱形，，，，，平面平面ABCD
（1）求证
（2）求平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值
17．（本题15分）（1）求圆O：和圆M：的公切线
（2）若与抛物线相交，求弦长
18．（本题17分）在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，
若①有两个不同实数根，，则可令；
若①有两个相同的实根，则可令，
再根据，求出，，代入即可求出数列的通项。
（1）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名。斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请你写出斐波那契数列的通项公式；
（2）已知数列中，，，数列满足，数列满足，求数列的前n项和。
19．（本题17分）已知点为焦点在x轴上的等轴双曲线上的一点。
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线且l交双曲线右支于M，N两点，直线PM，PN分别交该双曲线斜率为正的渐近线于E，F两点，设四边形EFNM和三角形PEF的面积分别为和，求的取值范围．
2023学年第二学期北斗联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题：东阳二中楼祥其
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．B
9．ABD 10．ACD 11．AD
12．1 13．172 14．（试题题干有误，此题送分）
15．解：
又
∴时 递减
时 递增
∴
16．（1）证明：中，，，
由可得
解三角形可得
即，
∴
又面面ABCD于AB
∴面ABCD 面ABCD∴
又菱形ABCD有
∴面ACE∴
（2）菱形ABCD中∴取BC中点G有∴
又面ABCD
∴以AG，AD，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
求得
设平面BDE的一个法向量
∴可取
利用求得
∴同理可取平面ADF的一个法向量
设所求夹角
则
17．（1）当斜率存在时
设公切线为与两圆相切
可得求得
∴切线
当斜率不存在时
可得也符合题意
由上可得公切线：或
（2）当切线和时经检验无交点
当切线为时，求得弦长为1
当切线为时，代入
可求得弦长为
由上可得弦长为1或
18．（1）易知斐波那契数列对应的特征方程为，解得两个实根分别为，
令，代入，可得，解得，
所以斐波那契数列的通项公式为
。
（2）易知数列对应的特征方程为，解得，所以令，
代入，，解得，所以，
所以，所以是公差为1的等差数列，（10分）
所以
所以
19．（1）设双曲线方程为，代入点可得，所以，
所以双曲线方程为；
（2）易知，所以，设直线l：，，
联立，可得，所以，解得。
又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线PM：，联立可得，
同理可得
而
所以，即，所以
