2023-2024学年山东省济南市章丘四中、章丘一中初中部直升班七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
2．（4分）等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．（4分）声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度t的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ）
温度t/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速v/（m/s） 318 324 330 336 342 348
A．温度越高，声速越快
B．在这个变化过程中，自变量是声速v，因变量是温度t
C．当空气温度为20℃，声速为342m/s
D．声速v与温度t之间的关系式为v＝t+330
4．（4分）如图，AB＝AD，∠B＝∠DAE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DAE的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝AE C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠ADE
5．（4分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6．（4分）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．﹣2
7．（4分）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
8．（4分）如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（ ）
A．136° B．138° C．146° D．148°
9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝2，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
10．（4分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）＝ ．
12．（4分）若2m+n＝﹣2，4m2﹣n2＝10，则2m﹣n＝ ．
13．（4分）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）与时间t（min）满足某种确定的关系，下表是小明记录的部分数据，
t（min） 1 2 3 5
h（cm） 1.4 1.8 2.2 3
则当h为9cm时，对应的时间t为 min．
14．（4分）如果多项式x2+（m+1）x+16是一个完全平方式，则m的值是 ．
15．（4分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 ．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
三．解答题（共10小题）
17．（6分）计算：（1）；
（2）20222﹣2024×2020．
18．（6分）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中（x+1）2+|y﹣2|＝0．
19．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE，并标出D和E的位置；
（2）△BCD的面积是 ．
20．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
21．（8分）规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，如：1*3＝2×23＝16．
（1）求（﹣2）*5的值；
（2）若2*（2x+1）＝64，求x的值．
22．（8分）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°．
（1）求证：△BCE≌△CAF；
（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
23．（8分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1；
（3）【拓展】请运用上面的方法，求220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1的值．
24．（12分）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点 ．
②甲乙两人相遇 ．
③乙到达终点 ．
（2）AB两地之间的路程为 千米；
（3）求甲、乙各自的速度；
（4）甲出发 h后甲、乙两人相距180千米；
25．（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣4a+4＝0，则a＝ ．b＝ ．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
26．（12分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
（2）求得AD的取值范围是 ；
A.6＜AD＜8
B.6≤AD≤8
C.1＜AD＜7
D.1≤AD≤7
【感倍】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中；
【问题解决】（3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，猜想：
①∠AEB的度数；
②BC，AD，AB的数量关系，说明理由．
2023-2024学年山东省济南市章丘四中、章丘一中初中部直升班七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．【解答】解：A、a2+2a2＝3a2，故此选项错误；
B、b10÷b2＝b8，故此选项错误；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项错误；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项正确；
故选：D．
2．【解答】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3＝6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长＝6+6+3＝15．
故选：C．
3．【解答】解：A．根据数据表，可得温度越高，声速越快，说法正确，故本选项不合题意；
B．在这个变化过程中，自变量是温度t，因变量是声速v，原说法错误，故本选项符合题意；
C．根据数据表，可得当空气温度为20℃，声速为342m/s，说法正确，故本选项不合题意；
D．设声速v与温度t之间的关系式为v＝kt+330，
则10k+330＝336，
解得k＝，
即声速v与温度t之间的关系式为v＝t+330，说法正确，故本选项不合题意；
故选：B．
4．【解答】解：A、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故A符合题意；
B、添加BC＝AE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故B不符合题意；
C、添加∠C＝∠E，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故C不符合题意；
D、添加∠BAC＝∠ADE，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故D不符合题意．
故选：A．
5．【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠C＝∠5，
∴AD∥BC，
④∵∠A+∠ADC＝180°
∴AB∥CD，
故选：B．
6．【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
7．【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
8．【解答】解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，
∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．
故选：D．
9．【解答】解：∵DF是△CDE的中线，
∴S△DCF＝S△DEF＝2，
∵CE是△ACD的中线，
∴S△CAE＝S△CDE＝4，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ADC＝4+4＝8，
∴S△ABC＝8+8＝16．
故选：A．
10．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝180°，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．【解答】解：原式＝（﹣）2023×42023×4
＝（﹣×4）×4
＝﹣4．
12．【解答】解：∵4m2﹣n2＝10，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝10，
∵2m+n＝﹣2，
∴2m﹣n＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．【解答】解：由表格可知，时间t每增加1min，水位升高0.4cm，
∴h＝0.4（t﹣1）+1.4＝0.4t+1．
当h＝9时，得0.4t+1＝9，
解得t＝20．
故答案为：20．
14．【解答】解：∵多项式x2+（m+1）x+16是一个完全平方式，
∴（m+1）x＝±2 x 4，
解得：m＝7或﹣9，
故答案为：7或﹣9．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝26°，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣2∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣3×26°＝102°，
故答案为：102°．
16．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；
故答案为：3或．
三．解答题（共10小题）
17．【解答】解：（1）原式＝4﹣1+1﹣3
＝4﹣3
＝1；
（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）
＝20222﹣20222+4
＝4．
18．【解答】解：原式＝[4x2﹣y2﹣（4x2+9y2﹣12xy）]÷（﹣2y）
＝（4x2﹣y2﹣4x2﹣9y2+12xy）÷（﹣2y）
＝（﹣10y2+12xy）÷（﹣2y）
＝5y﹣6x，
∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝2，
∴原式＝5×2﹣6×（﹣1）
＝10+6
＝16．
19．【解答】解：（1）取AC上的格点D，连接BD，取格点K，连接AK交BC于E，如图：
线段BD，AE即为所求；
理由：由图可知，D为AC的中点，
∴BD为△ABC的中线；
由图可得，△AMK≌△CNB（SAS），
∴∠MAK＝∠NCB，
∵∠NCB+∠ATC＝90°，
∴∠MAK+∠ATC＝90°，
∴∠AET＝90°，
∴线段AE是△ABC的高线；
（2）∵S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴S△BCD＝×4＝2；
故答案为：2．
20．【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
21．【解答】解：（1）由a*b＝2a×2b可得
（﹣2）*5＝2﹣2×25＝23＝8．
（2）由a*b＝2a×2b可得2*（2x+1）＝22×22x+1＝22x+3．
因为2*（2x+1）＝64＝26，
所以2x+3＝6，
解得．
22．【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°，
∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°，
∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA，
∴∠BCF＝∠FAC，
在△BCE与△CAF中
，
∴△BCE≌△CAF（AAS）；
（2）解：AF+EF＝BE，理由如下：
∵△BCE≌△CAF，
∴AF＝CE，CF＝BE，
∵CE+EF＝CF，
∴AF+EF＝BE．
23．【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+ +22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+ +22+2+1）
＝22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
＝
＝
＝．
24．【解答】解：（1）分析函数图象知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地．
故答案为：①P；②M；③N；
（2）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，AB两地之间路程为240千米
故答案为：240；
（3）甲的速度是：240÷6＝40（千米/时），则乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/h）；
（4）①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）＝（小时）
②相遇之后：3+（180﹣120）÷40＝（小时），
故答案为：或．
25．【解答】解：（1）已知等式整理得：（a﹣2）2+b2＝0，
解得：a＝2，b＝0；
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0，
即（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
则x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3＝7．
26．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
在△ABE中，AB＝8，
由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C．
（3）①∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°；
②AB＝BC+AD，理由如下：
如图2，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
