2023-2024学年度下学期期中质量监测
九年级数学试卷
说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟；
2．请在答题卡上答题，否则不给分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．下列各数中，是无理数的数是（ ）
A． B． C． D．0
2．榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
5．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当时，溶液呈碱性；当时，溶液呈酸性．若将给定的HCl溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映HCl溶液的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0 B． C． D．，都是正数
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．高安东方红体育公园欢乐世界是高安市2023年重点招商引资项目，总投资1.2亿元，将打造以高安为中心，辐射周边景区，具备特色旅游的综合文旅项目．数据1.2亿用科学记数法表示为______．
8．分解因式：______．
9．五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AC的长是______．
10．为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速60km/h，AB长1000m，路口B的每次绿灯时长为30s，小车经过路口A后，以36km/h的速度行驶1min后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度vkm/h的取值范围是______．
11．如图，将含30°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D，当BD平分∠ABC时，B，D两点在直尺上的读数分别为1cm，7cm，则直尺的宽为______cm．
12．如图，△ABC中，，cm，cm，BD平分∠ABC，动点M从点A出发，以每秒2cm的速度沿边AB→BC匀速运动，连接DM，当△ADM是以AD为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为______秒．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：
（2）如图，△ABC中，，，以点A为圆心，AC为半径画弧，交BC边于点D，求∠BAD的度数．
14．以下是小明同学解分式方程的过程：
解：……第一步，
……第二步，
……第三步，
，……第四步，
经检验：，是原方程的解．
（1）以上解题过程中，第一步变形的依据是（ ）
A．不等式的基本性质 B．等式的基本性质 C．分式的基本性质
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________；
（3）请求出该方程的正确解．
15．为落实“双减”政策，我市第十四小学积极开展丰富多彩的课余活动，开设了A汉风古韵、B翰墨飘香、C琴乐悠扬、D巧手灵心等课程，要求人人参与（每人只能选择其中一门课程）．
（1）小华同学选到A汉风古韵这一课程是______事件（填“不可能”，“必然”或“随机”）；
（2）请用画树状图法或列表法求出小华和小明两位同学都选到D巧手灵心课程的概率．
16．如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．现有A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）如图1，作出△ABC中AB边上的高CD；
（2）如图2，作出∠ABC的角平分线BE．
17．在Rt△ABC中，，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：表格中的______，______；
a，b，c
3，4，5 2
5，12，13 4 p
8，15，17 6 q
（2）设，观察上表猜想：______（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．“隐患胜于明火，责任重于泰山”，我市进行了消防安全隐患大排查．某校为提高师生的消防意识，举行了消防知识讲座和消防安全演练，并进行了消防安全知识测试，从七，八年级中各随机抽取了20名学生的成绩进行了统计分析（满分100分，成绩x均为整数，共分成四组：A组；B组；C组；D组）：
①八年级抽取的学生成绩为：86，88，90，90，92，92，94，94，96，96，98，98，98，100，100，100，100，100，100，100；
②七，八年级抽取的学生成绩统计表：
年级 平均分 中位数 众数 满分率
七年级 95.6 96 b 30%
八年级 95.6 a 100 35%
③七年级抽取的学生成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上统计数据，你认为该校七，八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写一条合理理由即可）﹔
（3）若该校七年级有700名学生，八年级有600名学生，试估计七，八两个年级学生的竞赛成绩为满分的总人数．
19．如图，△AOB中，，，顶点O为原点，点A的坐标为，反比例函数的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）设直线AB与y轴交于点M，求△AOM的面积．
20．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保。如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DE上（坡比，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°﹔当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．
（1）求叶片OA的长；
（2）在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．
（参考数据：，，，，结果保留整数）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，△ABC内接于，，AD是△ABC的外角∠CAE的角平分线，连接BO并延长交于点M，CM的延长线与AD交于点N．
（1）求证：AD是的切线；
（2）若，，①求的半径r的长；②求的值．
22．【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：，且．
（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长DE至点F，使，连接CF”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，试判断线段EF，AD，BC之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在△ABC中，，，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．如图①，△ABC为等边三角形，动点P从点B出发，以cm/s的速度沿边BC—CA运动至点A；动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿边BA运动至点A．若P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为ts，△BPQ的面积为Scm2，运动过程中，S关于t的函数图象如图②所示．
（1）△ABC的边长为_____cm，_____，_____；
（2）当时，求PQ的长；
（3）当时，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．
2023-2024学年度下学期期中质量监测
九年级数学参考答案
一、1．B 2．C 3．D 4．A 5．D 6．D
二、7． 8． 9．3 10．
11． 12．或4或6（对1个得1分，全对得3分）
说明：以下各题答案和评分标准仅供参考．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解：（1）原式
（2）由作图语句可知，，
，
在△ABD中，外角，
14．解：（1）B
（2）一；去分母时，没有乘以最简公分母；
解：
，
经检验：是原方程的解．
15．解：（1）随机
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两位同学都选到D的结果有1种，
故P（两位同学都选到D巧手灵心）
16．解：（1）如图1，CD即为所求；
（2）如图2，BE即为所求．
17．解：（1）1，；（2）；
（3），，
，
∵在Rt△ABC中，，，，
又∵在Rt△ABC中，，，
，
18．解：（1）15，97，100；
（2）八年级学生的竞赛成绩更好，理由如下：
八年级抽取的学生成绩的中位数大于七年级的中位数；
或八年级抽取的学生成绩的满分率大于七年级的满分率；（写一条合理理由即可）．
（3）人
答：估计七，八两个年级竞赛成绩为满分的学生总人数为420人．
19．解：（1）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则
，，
又，，
，，
又∵点A为，，，，，
点B为，
∵反比例函数的图象经过点，，x
（2）设直线AB的解析式为，把点，点代入得
，解得，，
当时，，点M为，
20．解：（1）由题可知：在Rt△DEF中，，即，
设，则，，
，，
，
在Rt△MOE中，，，
在Rt△AEN中，，，
（2）如图，当点A绕点O顺时针旋转90°时，，过点C分别作于点H，的延长线于点G，则
在Rt△COH中，，
即当叶片顺时针转动90°时，叶片OC顶端C离水平地面EF的距离约为34m
．
21．（1）证明：连接AO并延长交BC于点F，
，， AF垂直平分BC，
．
AD平分∠CAE，
又∵AO是半径，AD是的切线
（2）解：①过点O作于点H，则
∵BM是直径，
由（1）知，，
，
四边形AOHN是矩形，
，
设，则
∵在Rt△MOH中，
，解得（其他解法正确亦可）
②由①知，
22．（1）按小明的方法：延长DE至点F，使，连接CF
，，，
，
，，，
，，，
又，四边形DBCF为平行四边形，
，，，．
或者用不同于小明的方法：
D，E分别是AB，AC的中点，
又，，，
，，
（2）解：，理由如下：
连接AF并延长交BC的延长线于点G，如图：
，，，
∵F是CD的中点，，
，，，
∵E是AB的中点，F是AG的中点，
，
．
（3）
23．解：（1）6，6，
（2）如答图1，过点P作于点D，则，
当时，，，
∵在Rt△PBD中，，，
，，
在Rt△PDO中，
（3）如答图2，过点P作于点M，则，
当即时，，，
∵在Rt△APM中，，，
，
又，
S随t的增大而减小，当时，S有最大值为．
