澄城县2024年初中学业水平模拟考试（二）
数学试卷
注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.全卷共6页，总分120分.考试时间120分钟.
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）.
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效.
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑.
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．的倒数是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．如图是某正方体的平面展开图，则原正方体中与“盛”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．祖 B．国 C．繁 D．荣
3．如图，，点在上，连接，，若平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．计算：（ ）
A． B． C． D．
5．点和在一次函数（、为常数，且）的图象上，已知，当时，，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点在上，连接、，与交于点，若，，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，四边形内接于，连接、，是的直径， ，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为，与轴交于、两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．如图，点、在数轴上表示的数分别为和2，若点是的中点，则点表示的数是 ．
10．某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °．
11．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ．
12．已知点在第三象限，点和在反比例函数的图象上，且，则 .（填“>”“<”或“=”）
13．如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解不等式组：
15．计算：．
16．解方程：
17．如图，在中，，利用尺规作图法作出斜边上的中线.（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在中，点是边上一点，连接，延长至点，连接，，，求证：．
19．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
20．陕西是中华文明与文化的发祥地，其饮食文化源远流长，洋溢着浓郁的西北风情.青青一家三口打算在下个周末前往西安进行一日游，决定从“.biangbiang面”“.秦镇凉皮”“.羊肉泡馍”“.蜜枣甑糕”这4种特色美食中随机选取2种进行品尝，由于一时间不知道如何选择，于是青青做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别写有这4种美食，将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，爸爸妈妈抽取的两张卡片上写的是哪2种美食，他们就去品尝哪2种美食.
(1)妈妈抽取的卡片正面是“.羊肉泡馍”的概率为______.
(2)请用列表法或画树状图的方法求青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的概率.
21．某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下：
活动目的 测量居民楼的高度
测量工具 皮尺、测角仪
测量示意图及说明 说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内
测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，，
参考数据 ，，
备注 测量过程注意安全
请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度．
22．春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）．
(1)求所需总费用与之间的函数关系式；
(2)若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？
23．二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．为了了解学生掌握中华传统节气知识的情况，增强学生民族自豪感，某校在春分这天举行了以“春趣盎然，莫负春分好时光”为主题的知识竞赛活动（全校学生均参加），并从中随机抽取了50名学生的竞赛成绩（分数为整数，满分10分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)求所抽取学生此次竞赛成绩的平均数、中位数与众数；
(3)已知该校共有1500名学生，估计此次竞赛成绩不低于9分的学生人数．
24．如图，在中，以为直径的交于点D，点E是的中点，连接交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
25．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．【问题提出】
（1）如图1，在和中，，边与在一条直线上，于点，若，，则的长为______．
【问题探究】
（2）如图2，点为正方形的对角线的中点，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题解决】
（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一个室内健身中心．如图3，矩形是该居民小区的一块空地，点为矩形空地的对称中心，为该矩形空地的对角线，经测量，米，，房地产商计划在上取一点（不与端点重合），的延长线上取一点，将区域修建为室内健身中心，根据规划要求，，设的长为米，室内健身中心（）的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为80米时，整体布局比较合理，试求当米时，室内健身中心（）的面积．
图1 图2 图3
参考答案与解析
1．A
【分析】根据倒数的概念求解即可．
【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了正方体与展开图的面的关系，掌握相对的面之间一定相隔一个正方形是解答本题的关键．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“祖”与“盛”是相对面，“国”与“荣”是相对面，“繁”与“昌”是相对面．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
故选B．
4．D
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，根据题意可得一次函数中y随x增大而减小，则可得，，据此可得一次函数的图象进过第二、三、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵当时，，
∴一次函数中y随x增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图象进过第二、三、四象限，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出的长．
【详解】解：∵中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
7．A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
由，可得，由，可得，由是的直径，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由抛物线的对称性可得，、关于直线对称，则，进而可判断A的正误；由题意知，抛物线与轴有两个不同的交点，则，进而可判断B的正误；由，可知图象开口向上，当时，随的增大而增大，由，可知当时，，进而可判断C的正误；由二次函数的图象可知，当时，，则，进而可判断D的正误．
【详解】解：由抛物线的对称性可得，、关于直线对称，
∵，
∴，A错误，故不符合要求；
由题意知，抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，B错误，故不符合要求；
∵，
∴图象开口向上，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，，C正确，故符合要求；
由二次函数的图象可知，当时，，
∴，D错误，故不符合要求；
故选：C．
9．5
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合是解答本题的关键．设点C表示的数为x，根据列方程求解即可．
【详解】解：设点C表示的数为x，由题意，得
，
∴．
故答案为：5．
10．
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数．
先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可．
【详解】正五边形内角和为，
正五边形每个内角是，
∴．
故答案为．
11．（答案不唯一）
【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为矩形．
故答案为(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．
12．<
【分析】本题考查的是反比例函数性质，先根据点的坐标确定m，n的取值范围，然后确定反比例函数图象所在的象限，即可得出结论．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是解题关键．
过点作的平行线分别交、于点、，由点为上一动点，点为线段的中点可得到点在线段上运动，为的中位线，求证，用等腰三角形“三线合一”证明，所以，即点与点关于对称，所以，同时证明是等边三角形，，即的最小值为．
【详解】解：过点作分别交、于点、，
∵点为上一动点，点为线段的中点
∴点在线段上运动，且为的中位线，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴点与点关于对称，
∴，
又∵
∴的最小值为．
14．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为．
15．
【分析】本题考查二次根式的混合运算和负整数指数次幂，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当 时，，
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．见解析
【分析】本题考查尺规作图—作线段的垂直平分线.先作线段的垂直平分线交于点，然后连接即可解题.
【详解】解：如图，即为所作.
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．
由，，可得，证明，进而结论得证．
【详解】证明：，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要读懂题目的意思，找出题目中等量关系，列出方程，再求解．
【详解】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则：
．
解得．
答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）∵有A，B，C，D共4种特色美食，
∴妈妈抽取的卡片正面是“.羊肉泡馍”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下；
由此可得共有12种等可能情况，青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的情况有2种等可能情况，
∴青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的概率为
21．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，根据斜坡的坡度，可得，，从而得到．在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，
，．
∵，坡度，
∴，，
．
，
．
在中，，
即
，则，
，
该居民楼的高度为．
22．(1)
(2)购买这些树苗至少需要2250元
【分析】本题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据总费用A中树苗的费用加B种树苗的费用列出函数关系式即可；
（2）根据购买树苗的棵数不多于树苗的3倍求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）由题意可得，
所需总费用与之间的函数关系式为．
（2）由题意可得，
解得．
，，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
23．(1)见解析
(2)平均数是7.66分，中位数是8分，众数是8分
(3)估计此次竞赛成绩不低于9分的学生约有510人．
【分析】本题考查了条形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
（1）根据条形统计图，先算出8分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于9分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【详解】（1）解：8分学生的人数有（人），
补全条形统计图如下：
；
（2）解：（分），
所抽取学生此次竞赛成绩的平均数是7.66分，
按从小到大排列，排在最中间的两个数都是8分，
中位数是8分，
出现次数最多的是8，
众数是8分；
（3）解：（人），
估计此次竞赛成绩不低于9分的学生有510人．
24．(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角函数，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键；
（1）根据圆周角定理证明即可；
（2）由三角函数可得，可设，则，再根据勾股定理求解即可；
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
点E是的中点，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：，，
，
设，则，
，
，
解得（负值舍去），
，，
，
，
．
25．(1)
(2)存在点，点的坐标为或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式．
（2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解．
【详解】（1）将，代入中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
26．（1）16
（2）是等腰直角三角形，理由见解析
（3）①；②室内健身中心的面积为平方米
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）过点E作的平行线分别交于点M、N，由正方形的性质可证，从而和都是等腰直角三角形，然后证明即可证明结论成立；
（3）①①过点E作 于点H，于点M，于点N，则M、E、N三点共线，四边形和四边形都是矩形．证明得，求出，然后利用三角形的面积公式可得答案；
②把代入①中解析式计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴
∴；
（2）是等腰直角三角形，理由如下∶
过点E作的平行线分别交于点M、N，如图2．
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴
∵，
∴．，且．
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形
（3）①过点E作 于点H，于点M，于点N，如图3，
则M、E、N三点共线，四边形和四边形都是矩形．
∵在矩形中，米，，
∴．米，米，．
∵在中， ， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，即，
∴．
∵在上取一点（不与端点重合），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即y与x之间的函数关系式为；
②当时，，
∴当米时，室内健身中心（）的面积平方米．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，函数解析式等知识，难度较大，属中考压轴题．
