2024年上学期七年级期中检测试卷
数学科目
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，无理数是（ ）
A． B． C．3.14 D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）如图所示，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（3分）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．①+② B．①-② C．①+②×5 D．①×⑤-②
9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列命题中：①5的平方根是；②负数没有立方根；③的相反数是；④负数没有平方根；⑤立方根是本身的数有、0、1．是真命题的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知，请用含y的代数式表示x，则__________．
12．（3分）已知点，则P点到x轴距离是__________．
13．（3分）已知方程组的解满足，则__________．
14．（3分）如图，把长方形纸片沿对折，若，则__________．
15．（3分）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 __________．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为__________．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解方程组：
（1）； （2）．
19．（6分）如图，，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：，（已知）
__________．（_______________________________________）
．（_______________________________________）
，（已知）
．（等量代换）
．（_______________________________________）
__________．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（_______________________________________）
．（等量代换）
20．（8分）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
（1）求a，x的值；
（2）求的算术平方根．
21．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为．
（1）将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B，则点B的坐标为__________；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为，连接，，求的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为6，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（9分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
23．（9分）三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段长线上一点，若，平分，求的度数．
24．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，就称这个方程组为“好友方程组”，点为“好友点”．例如方程组的解为，满足，则方程组为“好友方程组”，点为“好友点”．
（1）下列方程组中，为“好友方程组”的是__________．（直接填序号）
①． ②． ③． ④．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组，请判断此方程组是否为“好友方程组”，若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
（3）已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组（Ⅰ）的解，当点为“好友点”时，请求出n的值；此时，请证明关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”，并求出“好友点”．
25．（10分）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．
（1）填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）；
（2）为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达F点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍；
（3）①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由．
2024年上学期七年级期中检测答案数学科目
一、选择题：
ABCDA BCABB
二、填空题
11． 12．2 13．7 14．
15． 16．
三、解答题
17．（6分）解：原式．
18．（6分）（1） （2）
19．（6分）
同位角相等，两直线平行 直线平行，内错角相等 同旁内角互补，两直线平行 垂直的定义
20．（8分）解：（1）依题意，得，解得，，，
．即a，x的值分别为，25．
（2）负数y的立方根与它本身相同，；
当，时，，的算术平方根为6．
21．（8分）解：（1）．
（2）．
（3）存在．设，由题意，解得或6，
点P坐标为或．
22．（9分）解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，解得，
答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，
得，，
，b均为正整数，当时，；当时，；当时，，
所有购买方案如下：
①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型；
③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型．
23．（9分）（1）证明：，，
又，．；
（2）解：如图2，过点E作，，
，，，；
（3）平分，，
，设，则，
，，，
，，
解得，，
，．
24．（10分）
解：（1）②④
（2）此方程组不是“好友方程组”，理由如下：
整理原方程组得：解得：．
若原方程组为“好友方程组”，则即，
此方程无解．即找不到m值使原方程组为“好友方程组”．
（3）解得方程组（Ⅰ）有，
当点为“好友点”时，即满足，
，，
整理原方程（Ⅱ）得：，有．
将代入得，，
，关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”．“好友点”为．
25．（10分）（1），，．
（2）设检修工人走了t秒，如图1，，
，
当时，，解得．
答：略
（3）①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ），
，，
当时，，则，
即，则，解得．
（ⅱ）当时，其中当时，与必相交；
当时，如图（ⅱ），由有，
则，即，即，解得：（舍）．
（ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ）
，，，
当时，，则，
即，即，解得．
当时，与必相交．综上，或110．
②如图2，，，
，
又，，
又，，
．
若为定值，则与t无关，
，此时，．
