高2024届高三下学期高考模拟试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合，，则
A． B． C． D．
3.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）
A．1.587 B．1.442 C．0.587 D．0.442
4.孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20的素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为
A． B． C． D．
5.已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为
A． B． C． D．
6.已知角，的顶点均为坐标原点，始边均为x轴正半轴，终边分别过点，，则
A．或 B．3或 C． D．
7.已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，，若不等式，恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
8.如图，已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆（）上不同的三点，且，，直线BC与x轴交于点D，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则
A．，， B．为偶函数
C． D．的解集为，
10.如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则
A．直线AM与直线为异面直线 B．线段上存在点N，使得平面
C．点C到平面AMB的距离为 D．线段上存在点E，使得平面
11.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则
A． B．当时，
C． D．在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
13.已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为 .
14.在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球 ，且四棱锥P-ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在△ABC中，已知.
（1）求证：；
（2）若D为AB的中点，且，，求△ABC的面积.
16.（15分）
某传媒公司随机抽取了某市1000名消费者，统计他们2024年春节购置年货的预算（单位：元，这1000名消费者的预算都不超过6000元），得到频数表如下：
预算/元
人数 460 276 184 60 10 10
（1）根据样本估计总体，求该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五人取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）从样本中购置年货的预算超过3000元的消费者中按照预算利用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记抽取到的消费者购置年货的预算在的人数为，在的人数为，，求X的分布列与数学期望.
17.（15分）
如图，在四棱台中，已知底面ABCD为正方形，M为AB的中点，，且平面，.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长.
18.（17分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C．
（1）求C的方程.
（2）斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立.
①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.（17分）
矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为，A中第i行第j列的元素为（，2，3，…，m，，2，3，…，l），记一个l行n列的矩阵B为，我们定义一个双目运算符“”使得矩阵，那么有以下规则：
a．A的列数必须与B的行数相等.
b．C是一个m行n列的矩阵.
c．C中的元素.
d．若有n个相同的矩阵A相后得到一个新矩阵，可将其记作.
e．运算满足结合律，不满足交换律.
（1）求.
（2）数列满足：.存在唯一的矩阵D使得（，）.
①求矩阵D，并用矩阵相的形式表示出矩阵（，）；
②用矩阵相的形式表示出矩阵（，）.
