解三角形与平面向量结合
常见考点
考点一 结合向量坐标运算
典例1．在①，②， ③向量与，且，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，分别是内角所对的边，且________.
（1）求角的大小;
（2）若是钝角三角形，且，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）选择第一个条件利用角化边，利用余弦定理解决，选择后两个条件都会边化角，用正弦定理解决；（2）利用正弦定理，将用只含有一个角的三角函数表示即可.
（1）若选条件①，根据正弦定理得，， 由余弦定理可得， ，又，则；
若选条件②，由正弦定理得，，则 ，化简得，，则，于是，则，结合可得；
若选条件③，，则，由正弦定理得，，，则，于是，则，结合可得.
（2）由正弦定理，，则，又是钝角三角形，不妨设是钝角，又，于是，则有，，于是即.
变式1-1．在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析.
【分析】
选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出，再借助余弦定理计算作答.
选②，由向量关系结合余弦定理求出角C，再由正弦定理求角A即可计算作答.
选③，切化弦求出角C，由正弦定理求出角A，再借助余弦定理计算作答.
【详解】
若选①：在中，因，由正弦定理得，
而，即有，整理得，
又，则，即，有，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理，
所以.
若选②：由，得，即，整理得，
在中，由余弦定理得：，而，则，
由正弦定理得，即，由，可得：，
则，有，因此有，又D为斜边AC中点，
所以.
若选③：依题意，，即，
在中，，于是得，即有，
由正弦定理得：，解得，由，可得：，则有，
从而有，即．
在中，由余弦定理得：，
所以.
变式1-2．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为，向量，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)先根据向量数量积的坐标运算列出方程，再用余弦的二倍角公式求出，即可求出角A的大小；
（2）先结合余弦定理，用基本不等式求出的最大值，最后套用面积公式即可.
（1）因为向量，且，
所以 ，即 解得，
又因为是三角形的内角，所以
（2）因为，，，
所以 ，
所以，即，当且仅当时取等号，
，
当时，
所以的面积的最大值为.
变式1-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求角B的大小及向量在方向上的投影向量的模.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用三角恒等变换得出角的余弦值，再由平方关系求出的正弦值；
（2）利用正余弦定理求出边，进而求出投影向量的模.
（1）解：由得
，即，
由因为
（2）解：由正弦定理，，，
又因为
由余弦定理得：
解得：或（舍去）
则向量在方向上的投影向量的模为：
考点二 结合向量线性运算与数量积
典例2．在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理将，化为，由此即可求出结果；
（2）由题意可知，进而可得，再根据余弦定理和基本不等式可得的最大值，进而求出结果.
（1）
解：因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）
解：因为，所以；
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
变式2-1．在中，若边对应的角分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的长度．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到，即可求出；
（2）依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律求出，即可得解；
（1）
解：因为，由正弦定理可得
在，，∴
∴，即
又，∴
∴，∴
（2）
解：∵且，
∴，
∴
∴
变式2-2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由已知结合正弦定理得，
而代入化简可得，从而可求出角B的大小，
（2）由点D在边AC上，且AD=2DC，可得，
平方化简后可得，再利用基本不等式可得，从而可求出面积的最大值
（1）因为，
所以由正弦定理得,
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，
所以
，
所以,
所以，即，
因为，所以，即，当且仅当时取等号，
所以面积为，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为
变式2-3．在中，内角的对边分别为，且.已知，，在下列条件①②③中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下列的问题 ，并求解.①；②；③边上的高等于2.
（1）和的值；
（2）的值.
选择___________.
（若选择多个符合题意的条件分别作答，按第一个计分.）
【答案】
（1）选条件②，；
（2）.
【分析】
(1)由给定条件求出ac=6，选择条件①，借助均值不等式判断无解；选择条件②，借助余弦定理计算即可；选择条件③，求出a，不符合题意.
(2)由(1)求出，结合三角形内角和定理、三角恒等变形计算作答.
（1）在中，因，，则，解得，
选择条件①，因，则，而，即三角形不存在；
选择条件②，由余弦定理得：，即，整理得，
而，解得；
选择条件③，由得，则，解得，与矛盾，即三角形不存在，
所以选择条件②，.
（2）由(1)知，，，则是等腰三角形，即有，
因此，
，
所以的值.
巩固练习
练习一 结合向量坐标运算
1．在①，②， ③向量与平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知___________.
（1）求A的大小;
（2）若，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）若选①，主要考察正弦定理；若选②，主要考察余弦定理；若选③，主要考察正弦定理与向量平行充要条件；
（2）由三角形面积公式得到b、c两边关系，再结合余弦定理解之即可.
（1）选条件①：，由正弦定理可知
则，即
又在△ 中，，即，
故，又，故
选条件②：
根据余弦定理，上式可化为
整理得，则
又在中，，故有
选条件③：向量与平行.
由，可得,
由正弦定理可知，则有
即，又在中，，故有
（2）由得，，则
又在中，,
即
则，故
2．在①，②向量与，且， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.
（1）求角的大小;
（2）若的面积为，求周长的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）若选条件①或③，需要使用正弦定理进行边化角来处理，选择条件②用余弦定理即可；
（2）先由面积的条件算出，此后利用余弦定理和基本不等式解决.
（1）若选条件①，根据正弦定理得, ，整理得，，即
，也即，由于是三角形内角，只可能是，即，；
若选条件②，则有，整理得，
由余弦定理得，又，则；
若选条件③，由正弦定理，，即，又，则.
（2），故，
由三角形三边关系，，故周长，
另一方面，根据余弦定理，，即，
由基本不等式可得，，故，即，当且仅当
取得等号，故周长，综上可得，周长的取值范围是：.
3．在①向量与，且，②， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，角所对的边分别为，且___________.
（1）求角B的大小;
（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）若选条件①，利用向量的数量积公式、正弦定理以及三角恒等变换，可得，由此即可求出，进而求出角B的大小；若选条件②，根据正弦定理和三角恒等变换，得，由此即可求出，进而求出角B的大小；若选条件③，根据正弦定理和二倍角公式，得，由此即可求出，进而求出角B的大小；
（2）由题意可知，再根据的周长为，可得， ，再利用余弦定理，即可求出，再根据，即可求出结果.
（1）
解：若选条件①，则有，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
若选条件②，根据正弦定理得，
，
∴，
∵，∴，
∵，∴.
若选条件③，根据正弦定理得，
∵，∴，
∵，∴.
（2）
解：∵成等差数列，∴，
又∵的周长为，即，
∴， ，
由余弦定理知，
解得，
∴.
4．在平面直角坐标系中中，的三个内角，，所对的边分别为，，，为钝角，已知向量，，且.
（1）证明：；
（2），，求的面积.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示，再结合正弦定理化边为角，同角三角函数基本关系、诱导公式即可求证；
（2）由可求得的值，进而可得角，再由（1）中结论可求得角，由三角形的内角和可得角，再由三角形的面积公式即可求解.
（1）向量，，所以，
在中，由正弦定理（表示外接圆的半径）
所以，，
所以，
因为，所以，
因为为钝角，所以.
（2）因为，，
所以，可得，
因为，所以，
由（1）知：，可得，
所以的面积为.
练习二 结合向量线性运算与数量积
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上一点，，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换化简可求出即可得出；
（2）由余弦定理求出，再由正弦定理求得，即可求出.
（1）因为，所以，
由正弦定理得，
故，
所以，
因为，所以，即.
因为，所以；
（2）
因为，所以，
中，由余弦定理得，，所以；
由正弦定理得，∴，
故.
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，点D在边上，且，，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解；
（2）利用平面向量的基本运算即可求出的值.
（1）解：因为，
由正弦定理得：①
又
所以①式可化为：
因为，所以
又因为是三角形内角，所以
（2）解：因为，
所以
则
所以
由（1）知，又，，
所以
即：
解得或（舍去）
所以
7．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角；
（2）若，求的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将，推导出，由此求出角.
（2）由已知条件推导出，从而由余弦定理得出，最后利用基本不等式求出的最小值.
（1）△中，，由正弦定理知，，
∵，∴ ，
∴，∴，
∴，
又∵ , ∴；
（2）由（1）及得，
所以,
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
8．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
已知点在内，，若___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【分析】
选择①，根据可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解.
选择②，根据可得，从而可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解.
选择③，根据可求得，再利用余弦定理求得，再利用余弦定理可求的角 ，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】
解：选择①，
因为点在内，，，
所以，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，所以，
所以.
选择②，
因为，所以，
所以，
又因为点在内，，
所以所以，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，所以，
所以.
选择③，
因为，所以，
在中 ，，
在中，，
又，所以，
所以.解三角形与平面向量结合
常见考点
考点一 结合向量坐标运算
典例1．在①，②， ③向量与，且，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，分别是内角所对的边，且________.
（1）求角的大小;
（2）若是钝角三角形，且，求的取值范围.
变式1-1．在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
变式1-2．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为，向量，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
变式1-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求角B的大小及向量在方向上的投影向量的模.
考点二 结合向量线性运算与数量积
典例2．在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
变式2-1．在中，若边对应的角分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的长度．
变式2-2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．
变式2-3．在中，内角的对边分别为，且.已知，，在下列条件①②③中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下列的问题 ，并求解.①；②；③边上的高等于2.
（1）和的值；
（2）的值.
选择___________.
（若选择多个符合题意的条件分别作答，按第一个计分.）
巩固练习
练习一 结合向量坐标运算
1．在①，②， ③向量与平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知___________.
（1）求A的大小;
（2）若，求的值.
2．在①，②向量与，且， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.
（1）求角的大小;
（2）若的面积为，求周长的取值范围.
3．在①向量与，且，②， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，角所对的边分别为，且___________.
（1）求角B的大小;
（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.
4．在平面直角坐标系中中，的三个内角，，所对的边分别为，，，为钝角，已知向量，，且.
（1）证明：；
（2），，求的面积.
练习二 结合向量线性运算与数量积
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上一点，，求的值.
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，点D在边上，且，，求.
7．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角；
（2）若，求的最小值．
8．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
已知点在内，，若___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
