第3课时——平行线及其性质（答案卷）
知识点一：平行线：
1. 平行线的定义：
在同一平面内， 永不相交 的两条直线叫做平行线．
若直线平行于直线，则记作 ，读作 平行于 ．
注意：一定要在同一平面内．且一定要时直线．
2. 平行线的画法：
过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：
①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合．
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起．
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合．
④沿着三角尺该直角边画直线．
【类型一：确定平行线】
1．在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【类型二：作图】
4．如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画；
(3)用量角器量一量与相交的角与的大小有怎样关系？
5．在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．
知识点二：平行公理及其推论：
1. 平行公理：
经过直线外一点， 有且只有1 条直线与这条直线平行．
有且只有：存在且唯一．
2. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即若，
则．
3. 垂直于同一直线的两直线平行：
若，则．
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】
6．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线互相垂直
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
7．下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若，则
B．a、b、c是直线，若，则
C．a、b、c是直线，若，则
D．a、b、c是直线，若，则
8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
9．下列说法中，正确的个数为( )
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果，那么
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法不正确的是（ ）
A．过马路的斑马线是平行线 B．100米跑道的跑道线是平行线
C．若a∥b，b∥d，则a⊥d D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
知识点三：平行线的性质：
1. 两直线平行，同位角相等：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成 两直线平行，同位角相等 ．
2. 两直线平行，内错角相等：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成 两直线平行，内错角相等 ．
3. 两直线平行，同旁内角互补：
两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成 两直线平行，同旁内角互
补 ．
4. 平行线间的距离及其性质：
作一组平行线的垂线， 两垂足之间 的部分线段的长度表示平行线间的距离．平行
线间的距离 处处相等 ．
【类型一：利用平行线的性质计算】
11．如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
14．如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．42° D．58°
16．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（ ）
A．52° B．62° C．64° D．42°
17．如图，已知DEBC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠AEB的度数为 ．
18．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，则的度数为 ．
知识点四：推理与论证：
1. 推理：
由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
2. 论证：
用论据证明论题的真实性．
【类型一：推论】
19．为了做好我市新冠肺炎疫情防控“外防输入，内防反弹”的工作，长沙市疾控中心对三位有可能与新冠肺炎患者密接的市民甲、乙、丙进行调查，三位市民有如下对话：
甲说：我密接了，需要隔离；
乙说：我肯定没有密接，请让我回去工作；
丙说：甲没有密接，不要被他骗了；
若这三人中只有一人说的是真话且只有一名密接者，请你判断谁是真正密接的人( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
20．某校六年级四个班准备举行篮球友谊赛，甲、乙、丙三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“703班得亚军，701班得第四”；
乙说：“702班得冠军，704班得第三”；
丙说：“704班得冠军，703班得第三”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的班级是( )
A．701班 B．702班 C．703班 D．704班
21．甲，乙，丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
D．第三名的总分共有3种情形
22．李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．李明，张红，周亮，王华 B．李明，张红，王华，周亮
C．张红，李明，周亮，王华 D．张红，李明，王华，周亮
知识点五：命题与定理：
1. 命题：
判断一件事情的语句，叫做命题．如图判断的事情是正确的，则命题为真命题，如果判断的事情是错误的，则命题为假命题．
2. 命题的题设与结论：
许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．“如果”后面接的部分是题设 ，“那么”后面接的部分是结论 ．
3. 逆命题：
把一个命题的题设部分与结论部分对调则形成原命题的逆命题．
4. 定理：
有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．定理是真命题，但是真
命题不一定是定理．
【类型一：命题的判断】
23．下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连结 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
24．下列语句属于命题的是（ ）
A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！
C．画出两条相等的线段 D．同位角相等
25．下列句子中不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．若︱a︱=︱b︱，则a 2 = b 2
C．直线AB垂直于CD吗？ D．同角的补角相等
【类型二：真假命题的判断】
26．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．若，则
27．下列命题中，真命题的个数有（ ）个
①有一个角为的三角形是等边三角形；②底边相等的两个等腰三角形全等；③有一个内角是且腰长相等的两个等腰三角形全等；④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等； B．内错角相等； C．相等的角是对顶角； D．同旁内角互补，两直线平行；
29．下列命题中正确的是( )
A．同位角相等
B．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．实数是的算术平方根
D．三角形的两边之和大于第三边
【类型三：命题的改写】
30．将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
31．命题全等三角形的对应角相等改写成如果…那么…的形式是 ．
32．命题“两点之间线段最短"的题设是 ，结论是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．
【详解】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．
2．C
【分析】根据长方体得出结论即可．
【详解】解：由题意知，在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有3条，
故选：C．
【点睛】本题主要考查长方体的知识，熟练掌握长方体各棱的关系是解题的关键．
3．B
【详解】
图中与AB平行的棱有；EF、CD、GH．共有3条．
故选B．
4．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)与相交的角与相等或互补．
【分析】（1）利用平移的方法作出平行线即可；
（2）利用平移的方法作出平行线即可；
（3）用量角器量一量与相交的角与的关系为：相等或互补．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
（3）与相交的角有四个：
所以与相交的角与相等或互补．
【点睛】本题考查基本作图及平行线的性质，难度较小，熟练掌握平行线的各种性质是解题的关键．
5．见解析
【详解】如图所示：
6．D
【分析】根据平行线的判定与性质定理，平行线公理以及点到直线的距离定义，即可得到答案．
【详解】∵垂直于同一条直线的两直线互相平行，
∴A错误，
∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴B错误，
∵如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，
∴C错误，
∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质定理，平行线公理以及点到直线的距离定义，掌握上述性质，定理，公理和定义，是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；
C．当时，，故本选项错误，不符合题意；
D．当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．
8．B
【详解】∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∵b⊥d，
∴c∥d.
故选B.
点睛：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
9．A
【分析】根据平行线的概念、公理及推论判断．
【详解】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
（2）根据平行公理的推论，正确；
（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
（4）应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，
故选A
【点睛】掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法．
10．C
【详解】A. B. 由平行线的定义可知，斑马线是平行线，100米跑道的跑道线是平行线，A. B正确；
C. 根据平行于同一条直线的两直线平行可知，C错误；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，正确.
故选C.
【点睛】本题考查了平行线概念和平行公理及推论．
11．A
【分析】
根据求出，再根据即可得到的度数.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的判断．
12．D
【分析】
由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．A
【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
14．D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
15．B
【详解】解：如图，过点A作，
∴∠3=∠1=58°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=32°，
∵
∴，
∴∠2=∠4=32°，
故选B．
16．A
【分析】根据折叠的性质得出∠GEF=64°，利用平行线的性质进行解答即可
【详解】∵一张长方形纸条ABCD折叠，
∴∠GEF=∠FEC=64°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17．35°##35度
【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的性质得∠AEB＝35°．
【详解】解：∵DEBC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等．
18．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
19．B
【分析】分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．
【详解】解：假设甲说的是真话，则甲是密接者，所以乙说的是真话，不合题意，
假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙乙说的是真话，不合题意，
假设丙说的是真话，则甲、乙说的是假话，符合题意，
所以真正密接的人是乙，
故选：B
【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
20．B
【分析】因为三人都猜对了一半，假设乙说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
【详解】假设乙说的“702班得冠军”是正确的，那么丙说的“704班得冠军”是错误的，
“703班得第三”就是正确的，那么甲说的“703班得亚军”是错误的，
“701班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故乙猜测是正确的．
故选：B
【点睛】本题考查推理能力，先假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾是解题的关键．
21．ABC
【分析】根据甲的得分情况分类讨论即可．
【详解】解：所有分数和为分，
甲获得获得其中两项的第一名及总分第一名，
甲的分数可能为，或，
第二名、第三名的总分之和可能为：分，或分，
故A正确．
第二名最高为分，
故B正确．
如果第三名获得了其中一场的第一名，那么他的最少得分为分，大于最大总分分的一半，故不可能，
故C正确．
当第二名、第三名的总分之和为29分时，第二名、第三名的得分情况为：，且第三名必须小于29分的一半，即14分，
则可能情况为：，，，
当第二名、第三名的总分之和为31分时，第二名、第三名的得分情况为：，且第三名必须小于31分的一半，即15分，
则可能情况为：，
所以，共4种情况，
故D错误．
【点睛】本题考查了数据的整理，分类讨论是解题关键．
22．B
【分析】设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，运用不等式的性质，推理变形比较即可．
【详解】设李明得分为a分，王华得分为b分，周亮得分为c分，张红得分为d分，
根据题意，得b+d=a+c，a+b＞c+d，d＞c+b，
∴d＞c， d＞b，d=a+c-b，
∴a+b＞c+a+c-b，a+c-b＞c+b，
∴b＞c，a＞2b＞b，
∴a＞b＞c，
∴a-d=b-c＞0，
∴ a＞d，
∴ a＞d＞ b＞c，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
23．D
【分析】一般地，判断某一件事情的句子叫做命题；即对事件作出判断，不论正确与否，且是一句陈述句．
【详解】解：A、是作图语句，不是命题，故A不符合题意；
B、是疑问句，而命题是一个陈述句，故B不是命题，故B不符合题意；
C、是作图语句，不是命题，故C不符合题意；
D、是命题，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的识别，表示判断的语句叫做命题，命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项．
24．D
【分析】根据命题的定义（判断一件事情的语句，叫做命题），逐项判断即可求解．
【详解】解：A． 你今天打卡了吗？没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
B． 请戴好口罩！没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
C． 画出两条相等的线段，没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
D． 同位角相等，作出判断，故该选项是命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
25．C
【分析】根据命题的定义对每项分别进行分析，即可得出答案．
【详解】】解：A、两直线平行，同位角相等，对事件做出了判断，是命题，故此选项不符合题意；
B、若|a|=|b|，则a2=b2，对事件做出了判断，是命题，故此选项不符合题意；
C、直线AB垂直于CD吗？没有对事件做出判断，不是命题，故此选项符合题意；
D、同角的补角相等，对事件做出了判断，是命题，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了命题与定理，要掌握命题的定义：表示对一件事情进行判断的句子叫命题，要能根据定义对句子进行判断．
26．D
【分析】根据相关基础知识逐项判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，是假命题，结论应该是或，故此选项不符合题意；
B、相等的角是对顶角，是假命题，角相等与位置无关，等腰三角形的底角相等，但不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、同旁内角互补，是假命题，缺少条件“两直线平行”，故此选项不符合题意；
D、若，则，是真命题，故此选项不符合题意．证明过程如下：
∵，∴，∴，∴，
故选：D．
【点睛】本题考查真假命题的判断，不等式的性质，平行线的性质，对顶角等知识，掌握相关基础知识是解题的关键．
27．A
【分析】根据题目中的各个说法可以判断其是否正确．
【详解】①在三角形中，三个角是60°，50°，70°，但三角形不是等边三角形，故①错误；
②一个等腰三角形的三边长为2，3，3，另一个等腰三角形的三边长为2，4，4，底边都为2，但两个等腰三角形不全等，故②错误；
③如果两个等腰三角形的腰相等，一个等腰三角形的底角是50°，一个等腰三角形的顶角是50°，则这两个三角形不是全等的，故③错误；
④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查命题和定理，解题的关键是明确命题和定理的定义，可以判断一个命题的真假．
28．D
【分析】根据所学知识判断即可．
【详解】∵ 两直线平行，同位角相等，
∴A假命题，不符合题意；
∵ 两直线平行，内错角相等，
∴B假命题，不符合题意；
∵相等的角不一定是对顶角，
∴C假命题，不符合题意；
∵同旁内角互补，两直线平行，
∴D是真命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了真命题的甄别，熟练掌握相关的数学知识是解题的关键．
29．D
【分析】根据平行线的性质，直线与直线的位置关系，算术平方根的定义，三角形三边关系逐项判断即可．
【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故原命题错误；
B．在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误；
C．实数不一定是的算术平方根，故原命题错误；
D．三角形的两边之和大于第三边，故原命题正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直线与直线的位置关系，算术平方根的定义，三角形三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
30．C
【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的和为直角，由此可得结论．
【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，
正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题是由题设和结论两部分组成．
31．如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．
【详解】∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论．
32． 连接两点，得到线段； 线段最短
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【详解】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，
故答案为：连接两点；线段最短
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
