广西南宁市青秀区第一初级中学2023--2024学年下学期数学学科期中质量监测八年级试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣2023 B． C． D．2023
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝x+4 D．y＝x2
5．（3分）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．6，10，8 C．12，13，25 D．3，4，6
6．（3分）如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）分解因式：16﹣x2＝（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
10．（3分）如图，直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式ax+b≤mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
12．（3分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，按图中方式放置，点A1，A2，A3， 和点B1，B2，B3，…在直线y＝x+1和x轴上，则点C2023 的纵坐标是（ ）
A．22023 B．22022 C．22023﹣1 D．22022﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）有意义，则a的取值范围为 ．
14．（2分）若点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，y1 y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．
15．（2分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ．
16．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
17．（2分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：＝．
21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，连接AD，过点A作AN∥BC．
（1）尺规作图：过点C作直线CE⊥AN于点E（基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
22．（10分）为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ ，m＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
23．（10分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
24．（10分）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
．以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：．
25．（10分）人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开：以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，把纸片展开，连接AN．
（1）求∠MNE；
（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S．把纸片展开，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA′是菱形．
26．（10分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA＝6，OB＝10，点D坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．
（1）如图1，当点P经过点C时，DP的长为 ．
（2）如图2，把长方形沿着直线OP折叠，点B的对应点B'；恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣2023 B． C． D．2023
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（B）原式＝2，故B错误；
（C）原式＝|a|，故C错误；
故选：D．
4．（3分）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝x+4 D．y＝x2
【解答】解：A、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、是正比例函数，故本选项符合题意；
C、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．6，10，8 C．12，13，25 D．3，4，6
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项B符合题意；
C、122+132≠252，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°．
∵AD＝DB，
∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝6．
故选：D．
7．（3分）分解因式：16﹣x2＝（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
【解答】解：16﹣x2＝（4﹣x）（4+x）．
故选：A．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、×＝＝，故A错误；
B、二次根式的加法，被开方数不能相加，故B错误；
C、﹣＝2﹣＝，故C正确；
D、÷＝＝＝2，故D错误；
故选：C．
9．（3分）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD＝18，
∵OD＝OB，DE＝EC，
∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，
∵BD＝12，
∴OD＝BD＝6，
∴△DOE的周长为9+6＝15，
故选：A．
10．（3分）如图，直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式ax+b≤mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当x≤﹣1时，x+2≥kx﹣2，即不等式ax+b≤mx+n的解集为x≤﹣1．表示在数轴上为：
故选：D．
11．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
【解答】解：如图，连接AC和BD，
∵E，F，G，H分别为各边的中点，
∴EF是△BAC的中位线，HG是△DAC的中位线，EH是△ADB的中位线，FG是△DBC的中位线，
∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∵矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EF＝FG＝HG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．
12．（3分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，按图中方式放置，点A1，A2，A3， 和点B1，B2，B3，…在直线y＝x+1和x轴上，则点C2023 的纵坐标是（ ）
A．22023 B．22022 C．22023﹣1 D．22022﹣1
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝0+1＝1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1A2为正方形，
∴点C1的纵坐标为1，
当x＝1时，y＝x+1＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2A3为正方形，
∴点C2的纵坐标为2．
同理，可知：点A3的坐标为（3，4），
点C3的纵坐标为4．
∴点 n的纵坐标为2n﹣1
∴点C2023的纵坐标为22022．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）有意义，则a的取值范围为 a≥1 ．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得a﹣1≥0，解得a≥1．
故a的取值范围为a≥1．
14．（2分）若点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，且﹣3＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
15．（2分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点P的坐标为（2，3），
∴二元一次方程组的解是．
故答案是．
16．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝ 6 8，
∴DH＝．
故答案为．
17．（2分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 1.6 米．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
【解答】解：如图，取AB中点H，连接HG，HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG＝∠CBF+ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴HG＝AB＝a，
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
Rt△BCH中，HC＝＝＝，
∴CG的最小值＝HC﹣HG＝﹣a＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2+1﹣3
＝0．
20．（6分）解方程：＝．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，连接AD，过点A作AN∥BC．
（1）尺规作图：过点C作直线CE⊥AN于点E（基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】（1）解：如图，直线CE即为所求作．
（2）证明：∵AB﹣＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∵AN∥BC，
∴AD⊥AN，
∵CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
22．（10分）为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ 150 ，m＝ 36 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【解答】解：（1）n＝60÷40%＝150，
∵，
∴m＝36，
故答案为：150；36．
（2）D等学生人数有：150﹣54﹣60﹣24＝12（人），
则补全频数分布直方图如下：
（3）3000×16%＝480（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
23．（10分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
24．（10分）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
．以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝+++…
＝﹣1+﹣+﹣+…﹣＝﹣1
＝3﹣1
25．（10分）人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开：以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，把纸片展开，连接AN．
（1）求∠MNE；
（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S．把纸片展开，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA′是菱形．
【解答】（1）解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
∵以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，
∴AB＝BN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN＝AN，
∴△ABN为等边三角形，∠ABN＝60°，
∴∠BNE＝90°﹣∠ABN＝90°﹣60°＝30°，
∴∠MNE＝∠BNM﹣∠BNE＝90°﹣30°＝60°；
（2）证明：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，
∴ST垂直平分AA′，
∴OA＝OA′，ST⊥AA′，
∵AD∥BC，
∴∠ASO＝∠A′TO，∠SAO＝∠TA′O，
在△AOS和△A′OT中，
，
∴△AOS≌△A′OT（AAS），
∴OS＝OT，
∴四边形SATA′为平行四边形，
又∵ST⊥AA′，
∴四边形SATA′为菱形．
26．（10分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA＝6，OB＝10，点D坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．
（1）如图1，当点P经过点C时，DP的长为 10 ．
（2）如图2，把长方形沿着直线OP折叠，点B的对应点B'；恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵BC＝OA＝6，BD＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
∴DP＝＝＝10；
故答案为：10；
（2）由折叠的性质可知，PB＝PB′，OB＝OB′＝10，
在Rt△AOB′中，由勾股定理可得：AB′＝8，
∴B′C＝2，
设BP＝x，则CP＝6﹣x，
在Rt△CPB′中，由勾股定理可得：x2＝（6﹣x）2+4，
解得：x＝，
∴P（，10）；
（3）存在，
∵D（0，2），
∴BD＝8，
①当BP＝BD＝8时，
∵BP＞BC，
∴P在AC上，
由勾股定理可得：CP＝＝2，
∴P（6，10﹣2），
②当BP＝DP时，P在BD的垂直平分线，
∴P在AC上，
∴P（6，6），
③当DP＝BD＝8时，P在AC上，
由①可知，AP＝OD+2＝2+2，
∴P（6，2+2），
∴P的坐标为：（6，10﹣2），（6，6），（6，2+2）．
