成都市盐道街中学2023-2024学年度下期半期考试
高2022级数学科试题
一、单选题：（每题5分，共40分）
1. 某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为
A. 18 B. 20 C. 24 D. 26
【答案】D
【解析】
【详解】由分层抽样的定义可得：，解得：.
本题选择D选项.
2. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案.
【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，
故，故时小球的瞬时速度为（），
故选：A
3. 已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等差、等比中项的应用．
【详解】由题可知，，所以．
故选：D．
4. 若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理得，，解得.
故选：B.
5. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
6. 已知数列的前项和，则满足的正整数的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知求分情况讨论，得到数列通项公式，再通过代入n值验证不等式即可.
【详解】根据可得，当时，，即；
当时，，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
故不等式，即，验证可得.
故选：B.
7. 已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
8. 过圆O：外一点作圆O的切线，切点分别为A，B，小黄同学在求直线AB的方程时采用了如下方法：设，，则PA：，PB：，又由，则有，过两点的直线有且仅有一条，因此小黄同学认为直线AB方程即为.基于这样的思想方法，请你试解决如下问题：已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 2e B. e C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得，即可构造函数，利用导数求解函数单调性，即可求解最值.
【详解】由于，
由于函数均为单调递增函数，故为定义域内的单调递增函数，所以，
故，记，则，
当在单调递减，
当在单调递增，
故，
故选：D
二、多选题：（每题6分，共18分）
9. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中第三组的频数为15
B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为74分
D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为73分
【答案】BD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出分数在内的频率，再根据频率分布直方图一一分析即可.
【详解】对A，因为分数在内的频率为，
所以第三组的频数为，故A错误；
对B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，
从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
对C，因为，，
所以中位数位于内，设中位数为，则，解得，
所以中位数的估计值为75分，故C错误；
对D，样本平均数的估计值为分，故D正确，
故选：BD.
10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数图象下图所示.下列关于的命题正确的是（ ）
x －1 0 2 4 5
1 2 1 2 1
A. 的极大值点为0，4
B. 当时，函数有4个零点
C. 在上是减函数
D. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4个
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合导函数的图象分析函数的单调性，结合特殊点的函数值，可画出函数草图，数形结合，可判断个选项的真假.
【详解】由的图象，可知在，上单调递增，在，上单调递减，结合特殊点的函数值，刻画出函数草图如下：
可知：函数的极大值点为0，4，故A正确；
当时，函数有4个零点，故正确；
在上是减函数，故正确；
函数的零点个数可能为0（或），2（），3（），4（），不可能只有1个根，故错误.
故选：
11. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（ ）
A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列
B. 从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32
C. 使得不等式成立的的最大值为3
D. 数列的前项和
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．
【详解】对于A选项，由题意知，且，
所以，又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知，，，，，
所以，故B错误；
对于C选项，，
易知是单调递减数列，且，，
故使得不等式成立的的最大值为，故C正确；
对于D选项，因为，且，
所以，所以，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：（每题5分，共15分）
12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________．
【答案】50
【解析】
【分析】由百分位数的概念求解即可.
【详解】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．
共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为．
故答案为：50
13. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则______.
【答案】2024
【解析】
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列性质，即可求解．
【详解】，，其中是等差数列，
则（常数），
故，
所以数列为等比数列，
则．
故答案为：2024．
14. 已知椭圆上有两点，，坐标原点为点，若两直线，斜率存在，且它们的积为，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】设，，由题意得到，从而，利用椭圆方程将转化为就得到，即可求解.
【详解】设，，
由已知得，点，在椭圆上，则．
所以，
所以，
所以
故答案为:5．
四、解答题：
15 已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项；
（Ⅱ）把（Ⅰ）解得的代入中，化简得
，然后利用裂项相消法求和.
【详解】解：（Ⅰ）∵，∴①
∵，，成等比数列，∴，∴化简得，
若，
若，②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是或
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴
【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题.
16. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
因为切点为，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，．
（1）设为中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平面平面得出平面，，利用勾股定理得出，从而证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量求平面与平面的夹角余弦值．
【小问1详解】
证明：因为为中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，平面
所以平面，
又平面，则，
由，，得，
因为，，，所以由勾股定理，得，
又，平面，所以平面；
【小问2详解】
如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，
则，
设平面的法向量为，
由，令，得，，
所以,
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得的坐标分别为，则，解得的值，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线，点，联立椭圆的方程，可得，结合韦达定理可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得焦点F到直线的距离，得，同理可得|，由，得到，解出的取值范围.
【详解】（1）由题意，抛物线的焦点，
所以A，B的坐标分别为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，
设点，
联立方程组，整理得，
所以，且，
所以，
焦点F到直线的距离＝2，
所以，
设直线的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
将用代换，可得，
由，可得2，
化简可得，两边平方得，
所以，解得，
又由且，可得或，可知
所以，即，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.（注：，，，，…；为的导数）.
（1）求函数在处的阶帕德近似函数；
（2）在（1）的条件下，试比较与的大小；
（3）在（1）的条件下，若在上存在极值，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意函数在处的,阶帕德近似，对求二阶导，由，，，可求出；
（2）作差，构造函数，，求导，利用导数研究函数的最值，即可求出结果；
（3）函数在上存在极值，即其导数在上有变号零点，构造函数，，求导，分析该函数的单调性和最值，利用零点存在定理可得结果．
【小问1详解】
由得，，
则函数在处的阶帕德近似函数，
由于，所以，
故
，，
因为，，所以，
解得，．
所以
【小问2详解】
令，，
则恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，
当时，，即，
当时，，即．
【小问3详解】
，，
，
因为在上存在极值，
所以在上存在变号零点，
令，，
，
当时，，所以在上单调递减，
，所以无零点，不符合题意；
记，则，
②当时，由于，所以，故，故在上单调递增，
，所以，所以在上单调递增，
所以，所以无零点，不符号题意；
③当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，
令，，
，所以在上单调递增，，
所以，
因为，，所以，
故，进而，
所以；
，
令；
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故故，
，故，
所以，
令，则，所以，
，
所以，所以在上存在零点，即在上存在极值点，
所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．成都市盐道街中学2023-2024学年度下期半期考试
高2022级数学科试题
一、单选题：（每题5分，共40分）
1. 某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为
A. 18 B. 20 C. 24 D. 26
2. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知数列的前项和，则满足的正整数的集合为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A 或 B. 或
C. D.
8. 过圆O：外一点作圆O的切线，切点分别为A，B，小黄同学在求直线AB的方程时采用了如下方法：设，，则PA：，PB：，又由，则有，过两点的直线有且仅有一条，因此小黄同学认为直线AB方程即为.基于这样的思想方法，请你试解决如下问题：已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 2e B. e C. D.
二、多选题：（每题6分，共18分）
9. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中第三组的频数为15
B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C. 根据频率分布直方图估计样本中位数为74分
D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为73分
10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数图象下图所示.下列关于的命题正确的是（ ）
x －1 0 2 4 5
1 2 1 2 1
A. 的极大值点为0，4
B. 当时，函数有4个零点
C. 在上是减函数
D. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4个
11. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（ ）
A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列
B. 从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32
C. 使得不等式成立的的最大值为3
D. 数列的前项和
三、填空题：（每题5分，共15分）
12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________．
13. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则______.
14. 已知椭圆上有两点，，坐标原点为点，若两直线，斜率存在，且它们的积为，则___________．
四、解答题：
15. 已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．
16. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，．
（1）设中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.
19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.（注：，，，，…；为的导数）.
（1）求函数在处的阶帕德近似函数；
（2）在（1）的条件下，试比较与的大小；
（3）在（1）的条件下，若在上存在极值，求m的取值范围.
