北京市第六十五中学2023～2024学年度第二学期期中达标测试题
初二数学试卷
考试时间：100分钟 满分：100分
一、本部分共30题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．
1. 下列各式中，哪个是最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B.、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 1，1，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
【详解】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
3. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，
本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．，此选项计算正确；
D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
5. 如图，在平行四边形中，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
6. 平行四边形所具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 邻边互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角 D. 两组对边分别相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．
【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.
故选D.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
7. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．
【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD
由已知可得，ADBC,ABCD
∴四边形ABCD是平行四边形
Rt△BEC和Rt△DFC中
∴Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BC=DC
∴四边形ABCD是菱形
故选B．
【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等．
8. 如图，矩形的对角线，交于点O，若，那么度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用矩形的性质证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边对等角，三角形得的外角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论：当0≤x≤2，如图1，作PH⊥AD于H，AP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，则∠APH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=x，PH=x，然后根据三角形面积公式得y=AM PH=x；当2＜x≤4，如图2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，则∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1，PH=，然后根据三角形面积公式得y=AM BE=；
当4＜x≤6，如图3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，根据菱形的性质得∠ADC=120°，则∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=（6-x），PF=DF=（6-x），则利用三角形面积公式得y=AM PF=-x+，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．
【详解】当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，如图1，
作PH⊥AD于H，AP=x，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，
∴∠A=60°，AM=1，
∴∠APH=30°，
在Rt△APH中，AH=AP=x，
PH=AH=x，
∴y=AM PH=×1×x=x；
当点P在BC上运动时，即2＜x≤4，如图2，
作BE⊥AD于E，AP+BP=x，
∵四边形ABCD为菱形，∠B=120°，
∴∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，AE=AB=1，
PH=AE=，
∴y=AM BE=×1×=；
当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，如图3，
作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，
∵菱形ABCD中，∠B=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DPF=30°，
在Rt△DPF中，DF=DP=（6-x），
PF=DF=（6-x），
∴y=AM PF=×1×（6-x）=（6-x）=-x+，
∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段，满足解析式y=x；当2≤x≤4，图象为平行于x轴的线段，且到x轴的距离为；当4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式y=-x+．
故选B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 二次根式有意义的条件是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
12. ________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可．
【详解】解：．
故答案为：2024．
13. 写出一个经过二、四象限的正比例函数为_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据经过二、四象限的正比例函数的比例系数即可得．
【详解】解：∵这个正比例函数的图象经过二、四象限，
这个正比例函数的比例系数，
∴写出一个经过二、四象限的正比例函数为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正比例函数图象，熟练掌握正比例函数的图象特征是解题关键．
14. 如图，中，D、E分别是的中点，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由D、E分别是的中点得到是的中位线，则，即可得到答案．
【详解】解：∵D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，在中，再添加一个条件__________（写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定定理的应用，注意：对角线垂直的平行四边形是菱形．
根据菱形的判定定理（对角线垂直的平行四边形是菱形)推出即可．
【详解】解：添加的条件是，
理由是：∵，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠DCB＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
17. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当是直角边时，第三边长；
当是斜边时，第三边长；
∴第三边长为或，
故答案为：或．
18. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值．
【详解】解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
三、解答题（共54分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂计算，第三项零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的意义化简计算即可得到结果；
【详解】原式
．
20. 计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根数的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
（1）先将原式中每项二次根式化为最简二次根式，再相乘即可得到结果；
（2）先将原式中括号内的每项二次根式化为最简二次根式，再合并括号内的同类二次根式，即可得到结果；
（3）先将原式中括号内的每项二次根式化为最简二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后根据二次根式的除法法则计算即可得到结果；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
21. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键：
直接利用二次根式的性质以及完全平方公式分别化简，进而得出答案；
【详解】
．
22. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的实际运用，利用格点的特点，把每一条边放在格点直角三角形中是解决问题的关键．
把每一条边都看作直角三角形的斜边，利用勾股定理求得边长，进一步求和即可；
【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
，
，
，
，
∴四边形的周长为．
23. 已知：如图1，，求作：．
作法：①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
（1）根据题意，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接DF．
∵，，，
∴（SSS）．
∴__________．
∴（__________）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图2，即为补全的图形；
【小问2详解】
证明：连接DF，
∵AE=CF，AB=CD，EB=FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴∠BAE=∠CDF．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24. 如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
25. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与离家距离之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的距离是_______米，小红在商店停留了_______分钟；
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了_______米，一共用了_______分钟．
（3）请再写出一条从图中得到的信息：________．
【答案】（1）
（2）
（3）小红在骑车速度为，(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出各数据；（2）将各路程段路程相加．
（1）观察函数图象，可知小红家到舅舅家的距离是1500米，小红在商店停留的时间为4分钟，此题得解；
（2）将各路程段路程相加，即可求出本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程，再根据函数图象可找出小红一共用的时间．
（3）根据图象和速度=路程差÷时间差，即可算出速度
【小问1详解】
解：由图象得：小红家到舅舅家的距离是1500米．
小红在商店停留的时间为(分钟)．
故答案为：．
【小问2详解】
本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程为2700(米)．
由图象得：小红一共用时14分钟．
故答案为：．
【小问3详解】
观察函数图象，可知小红在骑车速度为，(答案不唯一)．
26. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
【答案】（1）见解析 （2）2+2．
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得DFAC，EFAB，则四边形ADFE是平行四边形，再由∠BAC＝90°，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得BC＝2AF＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得ABBC＝2，则AC＝2，然后由矩形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DFAC，EFAB，
∴四边形ADFE平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴平行四边形ADFE为矩形；
【小问2详解】
解：∵∠BAC＝90°，F是BC的中点，
∴BC＝2AF＝4，
∵∠C＝30°，
∴ABBC＝2，
∴AC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴ADAB＝1，AEAC，
由（1）可知，四边形ADFE为矩形，
∴EF＝AD＝1，DF＝AE，
∴矩形ADFE的周长＝2（1）＝2+2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
27. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为______．
小正方形边长为常数______，
长方形面积之和为常数______．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．
（1）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
【答案】（1），2，12，
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；
（2）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
大正方形的边长为：，
小正方形的边长为：，
长方形面积之和为：，
大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
，
故答案为：，2，12，；
【小问2详解】
解：第一步：将原方程变形为，即，
第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，
，
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为，
小正方形边长为常数，
长方形面积之和为常数，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程，
两边开方可求得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
28. 正方形中，点E是边中点，F是对角线上的一个动点，连接，过点D作点于H．
（1）①如图1，比较大小：______．（填“>”“<”“=”）．
②连接交于点G，猜想线段与的数量关系并证明．
（2）如图2，与交于点O，交于点G．
①依据题意补全图形．
②请直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）①=；②，证明见解析
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）①由四边形内角和定理可得，又，所以可得，；②在上截取，则是中位线，可得，由①得，根据证明得，从而得；
（2）①根据题目叙述补全图形即可；②在上截取，得，再证明得；由正方形的性质得，再运用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∵,
∴
又
∴；
故答案为：=；
②在上截取，
∴F是的中点，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
正方形中，，
∵，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
又，
∴
又∵，．
∴，
∴．
【小问2详解】
①如图
②在上截取，如图，
∴F是的中点，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴
∵四边形是正方形，
∴且
∴
由（1）可得，，
∴
在中，，
∴，
在和中，
,
∴，
∴
在中，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．北京市第六十五中学2023～2024学年度第二学期期中达标测试题
初二数学试卷
考试时间：100分钟 满分：100分
一、本部分共30题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．
1. 下列各式中，哪个是最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 1，1，
3. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 平行四边形所具有性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 邻边互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角 D. 两组对边分别相等
7. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断
8. 如图，矩形的对角线，交于点O，若，那么度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 二次根式有意义的条件是____________．
12. ________．
13. 写出一个经过二、四象限正比例函数为_________．
14. 如图，中，D、E分别是的中点，若，则________．
15. 如图，在中，再添加一个条件__________（写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线）
16 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____．
17. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．
18. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____．
三、解答题（共54分）
19. 计算：．
20. 计算
（1）
（2）
（3）
21. 计算：．
22. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长．
23. 已知：如图1，，求作：．
作法：①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
（1）根据题意，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：连接DF．
∵，，，
∴（SSS）．
∴__________．
∴（__________）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形（__________）（填推理的依据）．
24. 如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
25. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与离家距离之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的距离是_______米，小红在商店停留了_______分钟；
（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了_______米，一共用了_______分钟．
（3）请再写出一条从图中得到的信息：________．
26. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
27. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为______．
小正方形边长为常数______，
长方形面积之和为常数______．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．
（1）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
28. 正方形中，点E是边中点，F是对角线上的一个动点，连接，过点D作点于H．
（1）①如图1，比较大小：______．（填“>”“<”“=”）．
②连接交于点G，猜想线段与的数量关系并证明．
（2）如图2，与交于点O，交于点G．
①依据题意补全图形．
②请直接写出线段之间的数量关系．
