压轴题03 圆周运动
圆周运动在高考物理中占据着至关重要的地位，是考查学生对力学和运动学知识掌握程度的重要考点。在命题方式上，圆周运动的题目既可能直接考察基础知识，如圆周运动的定义、向心力和向心加速度的计算等，也可能与其他知识点如能量守恒、动量定理等相结合，形成综合性较强的题目。
备考时，考生应深入理解圆周运动的基本原理和规律，掌握相关的公式和解题方法，并通过大量的练习提高解题能力。同时，考生还需关注历年高考真题和模拟题，了解命题趋势和难度，以便更有针对性地备考。通过系统复习和练习，考生能够熟练掌握圆周运动的相关知识，为高考取得优异成绩奠定坚实基础。
考向一：水平面内的圆周运动
1．圆周运动动力学分析过程：
2.水平面内的圆盘临界模型
①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ；
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB
临界条件： ① ②
考向二：常见绳杆模型特点：
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0
01 水平面内圆锥摆模型
1．一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，小球的质量为m，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．细线的长度为 B．细线的长度为
C．细线的长度为 D．细线的长度为
02 无线水平圆盘模型
2．如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴中心为和的两点位置，分别有质量均为的相同材料的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，两小物体分别滑至圆盘上其他位置停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，两小物体所受摩擦力大小相同
B．圆盘停止转动后，两小物体滑动的距离之比为
C．圆盘停止转动后，两小物体运动的轨迹为曲线
D．圆盘停止转动前，两小物体动能相同
03 有线水平圆盘模型
3．如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上．当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止．下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
04 竖直面内绳类（轨道内侧）模型
4．如题图，一质量为M的杂技演员站在台秤上，手拿一根长为R的细线一端。另一端系一个质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。若小球恰好能做完整的圆周运动，已知圆周上b为最高点，a、c为圆心的等高点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点b时，小球的速度为零
B．小球在a、c两个位置时，台秤的示数相同，且为Mg
C．小球运动到点c时，台秤对杂技演员摩擦力的方向水平向右
D．小球运动到最低点时，台秤的示数为
05 竖直面内杆类（管类）模型
5．一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示．现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
06 斜面内的圆周运动
6．如图，半径为R的匀质实心圆盘。盘面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止。其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到（未知）。此时圆盘表面上的细沙有被甩掉，重力加速度为g。则的值为
A． B．
C． D．
1．（2024高三下·重庆·模拟一诊）如图（a）所示，质量均为1kg的物体A和B放置在圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数分别为和。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为和。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度缓慢增大时，转轴与物体A之间的细绳拉力、A与B之间的细绳拉力随的关系如图（b）所示。取，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）如图甲所示的旋转飞椅在水平面内做匀速圆周运动，可拓展为如图乙所示的模型，轻质细线1、2分别悬挂A、B两小球（视为质点）在不同高度的水平面内做匀速圆周运动。A、B的质量均为m，细线1的长度为，细线2的长度未知，细线1与竖直方向的夹角为，细线2与竖直方向的夹角为。细线1、2始终在同一竖直平面内，重力加速度为g，、，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．A、B的线速度可能相等
B．细线1与细线2中拉力大小之比为
C．B的角速度大小为
D．细线2的长度为
3．（2024高三·山东聊城·开学模拟）如图甲所示，小木块和（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，的质量为，的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为，，、与盘间的动摩擦因数相同且均为。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。表示圆盘转动的角速度，在角速度增大到一定值的过程中，、与圆盘保持相对静止，所受摩擦力与满足如图乙所示关系，图中。下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体a B．
C． D．时绳上张力大小为
4．（2024高三下·河南周口·开学考试）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，是轨道的水平直径，为圆心，一个小球静止在轨道的最低点。现给小球水平向左的初速度，小球沿圆轨道向上运动到点时刚好离开圆轨道，此后小球恰能通过点，为点上方与等高的位置，与水平方向的夹角为，不计小球的大小，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南长沙·二诊）如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面体上，有一可视为质点、质量为的小球用长为的轻绳拴接，轻绳的另一端固定在点，小球静止时位于最低点A，现给小球一与轻绳垂直的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，经过一段时间小球刚好能运动到最高点，重力加速度取，忽略空气阻力。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球由A运动到的过程中机械能守恒
B．小球由A运动到的过程中，重力的瞬时功率一直减小
C．小球在A点时，轻绳的拉力大小为
D．小球由A运动到的过程中克服摩擦力做的功为
6．（2024·河北衡水·一模）如图所示，水平转盘可绕过盘上O点的转轴P转动。转盘上边长为R的等边三角形（其中一个顶点为O）的一条边上放置两个相同的小物块a、b，质量均为m，a在等边三角形的一个顶点处，b在该边的中点处，a、b之间有一拉长的弹簧，初始时转盘和两物块均静止，弹簧弹力大小为F。现让转盘绕竖直转轴P沿逆时针方向（俯视）以不同的角速度匀速转动，当转盘角速度时，滑块恰好与转盘相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．转盘静止时，a受到的摩擦力大小为F，方向沿ab连线由b指向a
B．当时，b受到的摩擦力大小为
C．当时，a受到的摩擦力大小为
D．物块与转盘间的动摩擦因数等于
7．（2024高三下·四川·开学考试）如图所示，粗糙圆盘沿同一直径放置正方体A、C，及侧面光滑的圆柱体B，一轻绳绕过B连接A、C，初始时轻绳松弛。已知，A、B、C与圆盘的动摩擦因数分别为和。现使圆盘从静止开始缓慢加速转动，转动过程中A、B、C始终未倾倒，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．物体与圆盘相对滑动前，A物体所受的向心力最大
B．细绳最初绷紧时，圆盘的角速度
C．圆盘上恰好有物块开始滑动时
D．物体与圆盘相对滑动前，C所受的摩擦力先减小后增大
8．（2024高三下·湖南长沙·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。小物体质量为，与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为，取。则下列说法正确的是（ ）
A．角速度的最大值是
B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心
C．取不同数值时，小物体在最高点受到的摩擦力一定随的增大而增大
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为
9．（2024高三上·山东潍坊·期末）通用技术课上，某兴趣小组制作了一个电动爬杆小猴，原理如图所示，竖直杆OM与光滑杆ON均固定在电动机底座上，且ON与水平面间的夹角，一弹簧上端固定在OM杆上的P点，下端与穿在ON杆上质量为m的小猴相连。小猴静止时弹簧与竖直方向间的夹角，当电动机带动底座开始转动时，小猴开始爬杆。已知OP两点间的距离为L，重力加速度为g。则（ ）
A．小猴静止时杆对小猴的弹力方向垂直杆ON斜向下
B．小猴静止时弹簧弹力的大小为mg
C．小猴静止时杆对小猴的弹力大小为
D．电动机转动后，当小猴稳定在与P点等高的位置时杆的角速度为
10．（2024高三·吉林长春·开学考试）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球均静止时，弹簧的长度为L－
B．角速度时，小球A对弹簧的压力为mg
C．角速度
D．角速度从继续缓慢增大的过程中，小球A对弹簧的压力变小
11．（2024高三·河南·期末）过山车是一种刺激的游乐项目，未经训练的普通人在承受大约5个重力加速度时就会发生晕厥。图甲过山车轨道中回环部分是半径为R的经典圆环轨道，A为圆轨道最高点、B为最低点；图乙过山车轨道中回环部分是倒水滴形轨道，上半部分是半径为R的半圆轨道、C为最高点，下半部分为两个半径为2R的四分之一圆弧轨道、D为最低点。若载人过山车可视为质点，分别从两轨道顶峰处由静止下降，经过A、C点时均和轨道没有相互作用，点B、D等高，忽略空气阻力和摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A．过山车经过A、C点时速度为0
B．图甲过山车轨道比图乙轨道更安全
C．图乙过山车轨道比图甲轨道更安全
D．图甲轨道的顶峰高度比图乙轨道的顶峰高度低R
12．（204高三·湖南长沙·模拟）如图所示，杂技演员做水流星表演时，用一绳系着装有水的小桶在竖直平面内绕O点做圆周运动，整个运动过程中水没有流出。已知小桶内水的质量为，O点到水面的距离为，水面到桶底的距离为，小桶直径远小于，重力加速度大小为。则小桶转到最低点时水对桶底的压力大小可以为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高三·四川绵阳·一诊）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期
14．（2024高三上·四川成都·模拟预测）如图（a），被固定在竖直平面内的轨道是由内径很小、内壁均光滑的水平直轨道和半圆形轨道平滑连接而成，在半圆形轨道内壁的最高和最低处分别安装M、N、P、Q四个压力传感器。一小球（可视为质点）在水平轨道内以不同的初速度向右运动（传感器不影响小球的运动）。在同一坐标系中绘出传感器的示数F与的图像I、II、III如图（b）所示。重力加速度。下列判断正确的是（ ）
A．直线I、II、III分别是 M、N、P传感器的图像
B．由图像可求得小球的质量
C．当时，Q传感器的示数为28N
D．当时，N传感器的示数为22N
15．（2024高三下·江苏无锡·开学考试）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s；
（2）装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F；
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。
16．（2024高三下·江苏·开学考试）如图所示装置，两根光滑细杆与竖直方向夹角都是θ，上面套有两个质量为m的小球，小球之间用劲度系数为k的弹簧相连。静止时，两小球静止在A、B处，当整个装置绕中心轴线缓慢加速旋转，当角速度为ω时，不再加速，保持稳定，此时两小球处于C、D位置，且此时弹簧中弹力与小球静止在A、B处时的弹力大小相等，试求：
（1）小球静止在A、B位置时弹簧的弹力大小F；
（2）稳定在C、D位置时弹簧的长度LCD；
（3）整个过程中细杆对弹簧小球系统做的功W。压轴题03 圆周运动
圆周运动在高考物理中占据着至关重要的地位，是考查学生对力学和运动学知识掌握程度的重要考点。在命题方式上，圆周运动的题目既可能直接考察基础知识，如圆周运动的定义、向心力和向心加速度的计算等，也可能与其他知识点如能量守恒、动量定理等相结合，形成综合性较强的题目。
备考时，考生应深入理解圆周运动的基本原理和规律，掌握相关的公式和解题方法，并通过大量的练习提高解题能力。同时，考生还需关注历年高考真题和模拟题，了解命题趋势和难度，以便更有针对性地备考。通过系统复习和练习，考生能够熟练掌握圆周运动的相关知识，为高考取得优异成绩奠定坚实基础。
考向一：水平面内的圆周运动
1．圆周运动动力学分析过程：
2.水平面内的圆盘临界模型
①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ；
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB
临界条件： ① ②
考向二：常见绳杆模型特点：
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此时FN＝mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力 (2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0
01 水平面内圆锥摆模型
1．一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，小球的质量为m，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．细线的长度为 B．细线的长度为
C．细线的长度为 D．细线的长度为
【答案】A
【详解】设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为，当时，小球静止，受重力mg、支持力N和线的拉力T而平衡，此时有，ω增大时，T增大，N减小，当时，角速度为，当时，由牛顿第二定律有；解得
当时，小球离开锥面，线与竖直方向夹角变大，设为，由牛顿第二定律得
所以此时图线的反向延长线经过原点，可知图线的斜率变大，结合图像可得
则细线的长度为故选A。
02 无线水平圆盘模型
2．如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴中心为和的两点位置，分别有质量均为的相同材料的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，两小物体分别滑至圆盘上其他位置停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，两小物体所受摩擦力大小相同
B．圆盘停止转动后，两小物体滑动的距离之比为
C．圆盘停止转动后，两小物体运动的轨迹为曲线
D．圆盘停止转动前，两小物体动能相同
【答案】B
【详解】A．圆盘停止转动前，两小物体所受摩擦力提供向心力，所以两小物体所受摩擦力大小不相同，故A错误；
B．圆盘停止转动前，两小物体的线速度大小之比为圆盘停止转动后，滑动的加速度大小均为由运动学公式，可得两小物体滑动的距离之比为故B正确；
C．圆盘停止转动后， 两小物体做匀减速直线运动，故C错误；
D．由可知，圆盘停止转动前，两小物体动能之比为，故D错误。故选B。
03 有线水平圆盘模型
3．如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上．当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止．下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为，因为，故，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有，联立可得由上述分析可知，绳子拉力出现之前图像的斜率为，绳子拉力出现之后图线的斜率为，所以绳子有拉力时图线斜率变大。故选D。
04 竖直面内绳类（轨道内侧）模型
4．如题图，一质量为M的杂技演员站在台秤上，手拿一根长为R的细线一端。另一端系一个质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。若小球恰好能做完整的圆周运动，已知圆周上b为最高点，a、c为圆心的等高点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点b时，小球的速度为零
B．小球在a、c两个位置时，台秤的示数相同，且为Mg
C．小球运动到点c时，台秤对杂技演员摩擦力的方向水平向右
D．小球运动到最低点时，台秤的示数为
【答案】B
【详解】A．小球恰好能做完整的圆周运动，在最高点b时，细线的拉力为零，由重力提供所需的向心力，根据牛顿第二定律得则小球运动到最高点b时的速度为故A错误；
B．小球在a、c两个位置时，细线拉力均处于水平方向，以人为研究对象，在竖直方向上根据平衡条件可得台秤对人的支持力为FN=Mg由牛顿第三定律可知人对台秤的压力为Mg，则台秤示数为Mg，故B正确；
C．小球运动到点c时，绳子对小球的弹力水平向左，则绳子对人的拉力水平向右，所以台秤对演员的摩擦力水平向左，故C错误；
D．设小球运动到最低点时速度大小为v′。小球从最高点到最低点的过程，由机械能守恒定律得
小球在最低点时，由牛顿第二定律得以人为研究对象，由平衡条件得
解得台秤对人的支持力为则台秤的示数为Mg+6mg，故D错误。故选B。
05 竖直面内杆类（管类）模型
5．一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示．现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
【答案】A
【详解】AB．小球在竖直平面内做圆周运动，最高点和最低点的速度方向都水平且相反，，根据圆周运动的方向可知，在最高点速度方向为正，在最低点速度方向为负，另外，最高点和最低点合外力都指向圆心，水平方向合外力为零，因此反应在图乙中的速度—时间图像中，最高点和最低点所对应的图像在该位置的斜率为零，即水平方向加速度为零，而根据圆周运动的对称性可知，最低点和最高点两侧物体在水平方向的速度应具有对称性，因此，根据图乙可知，t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点，故A正确，B错误；
CD．竖直面内的圆周运动，在最高点时速度最小，最低点时速度最大，因此而对小球的运动过程进行分析可知，S1表示小球从最低点到圆周的最左边的水平位移大小，S2表示小球从圆周最左边到最高点的水平位移的大小，显然S1和S2的面积相等，故CD错误。故选A。
06 斜面内的圆周运动
6．如图，半径为R的匀质实心圆盘。盘面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止。其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到（未知）。此时圆盘表面上的细沙有被甩掉，重力加速度为g。则的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据可知在角速度相同的情况下半径越大，向心力越大，所以最外边的灰尘随着角速度的增大最先发生滑动，因为圆盘表面上的灰有被甩掉，即面积上的灰尘发生滑动，剩下的未滑动，设未滑动的半径为r，则解得在最低点有解得故选D。
1．（2024高三下·重庆·模拟一诊）如图（a）所示，质量均为1kg的物体A和B放置在圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数分别为和。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为和。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度缓慢增大时，转轴与物体A之间的细绳拉力、A与B之间的细绳拉力随的关系如图（b）所示。取，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】BD．以物体B为研究对象，则有变形得与图像对比可得
；故BD错误；
AC．以A为研究对象可得代入得与图像对比可得；即；故A错误，C正确。故选C。
2．（2024·河北·模拟预测）如图甲所示的旋转飞椅在水平面内做匀速圆周运动，可拓展为如图乙所示的模型，轻质细线1、2分别悬挂A、B两小球（视为质点）在不同高度的水平面内做匀速圆周运动。A、B的质量均为m，细线1的长度为，细线2的长度未知，细线1与竖直方向的夹角为，细线2与竖直方向的夹角为。细线1、2始终在同一竖直平面内，重力加速度为g，、，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．A、B的线速度可能相等
B．细线1与细线2中拉力大小之比为
C．B的角速度大小为
D．细线2的长度为
【答案】D
【详解】A．B相对静止做稳定的匀速圆周运动，每转一圈所需要的时间相等，即运动周期相等，角速度相等，两球做匀速圆周运动的半径不同，由可知A、B的线速度不相等，A错误；
B．细线1、2的拉力大小分别为、，设细线2的长度为L，A、B的角速度均为，对B进行受力分析，在竖直方向由力的平衡可得对A进行受力分析，竖直方向上有
综合解得，进一步可得故B错误；
C．对A进行受力分析，水平方向有结合，综合解得
故C错误；
D．对B进行受力分析，水平方向有综合，解得故D正确。故选D。
3．（2024高三·山东聊城·开学模拟）如图甲所示，小木块和（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，的质量为，的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为，，、与盘间的动摩擦因数相同且均为。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。表示圆盘转动的角速度，在角速度增大到一定值的过程中，、与圆盘保持相对静止，所受摩擦力与满足如图乙所示关系，图中。下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体a B．
C． D．时绳上张力大小为
【答案】D
【详解】A．角速度较小时，两物体受静摩擦力提供向心力，对a有对b有则角速度较小时，b的静摩擦力较小，则图（1）对应物体b，故A错误；
B．当角速度达到时，设绳子拉力为，对a、b有；当角速度达到时，设绳子拉力为，对a、b有；解得故B错误；
C．当角速度达到时，b受最大静摩擦力提供向心力，有当角速度达到时，设绳子拉力为，对a、b有；解得故C错误；
D．由上述分析可知；；；联立解得故D正确；故选D。
4．（2024高三下·河南周口·开学考试）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，是轨道的水平直径，为圆心，一个小球静止在轨道的最低点。现给小球水平向左的初速度，小球沿圆轨道向上运动到点时刚好离开圆轨道，此后小球恰能通过点，为点上方与等高的位置，与水平方向的夹角为，不计小球的大小，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球刚要脱离圆轨道时，小球的速度大小为，此时对小球小球脱离轨道后，小球将做斜抛运动，则小球在D点时的水平方向；；在竖直方向；
以上各式联立，解得即故选C。
5．（2024·湖南长沙·二诊）如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面体上，有一可视为质点、质量为的小球用长为的轻绳拴接，轻绳的另一端固定在点，小球静止时位于最低点A，现给小球一与轻绳垂直的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，经过一段时间小球刚好能运动到最高点，重力加速度取，忽略空气阻力。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球由A运动到的过程中机械能守恒
B．小球由A运动到的过程中，重力的瞬时功率一直减小
C．小球在A点时，轻绳的拉力大小为
D．小球由A运动到的过程中克服摩擦力做的功为
【答案】C
【详解】A．由于小球由A运动到的过程有摩擦力做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；
B．小球在A点时的速度与重力垂直，则重力的功率为0，同理小球在点时，重力的功率也为0，所以小球由A到的过程，重力的瞬时功率先增大后减小，故B错误；
C．小球在A点时，由牛顿第二定律得解得故C正确；
D．小球刚好运动到点时，轻绳没有作用力，则由牛顿第二定律得设小球由A到的过程中克服摩擦力做功为，由动能定理得解得故D错误。故选C。
6．（2024·河北衡水·一模）如图所示，水平转盘可绕过盘上O点的转轴P转动。转盘上边长为R的等边三角形（其中一个顶点为O）的一条边上放置两个相同的小物块a、b，质量均为m，a在等边三角形的一个顶点处，b在该边的中点处，a、b之间有一拉长的弹簧，初始时转盘和两物块均静止，弹簧弹力大小为F。现让转盘绕竖直转轴P沿逆时针方向（俯视）以不同的角速度匀速转动，当转盘角速度时，滑块恰好与转盘相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．转盘静止时，a受到的摩擦力大小为F，方向沿ab连线由b指向a
B．当时，b受到的摩擦力大小为
C．当时，a受到的摩擦力大小为
D．物块与转盘间的动摩擦因数等于
【答案】ABD
【详解】A．转盘静止时，由于弹簧处于拉长状态，对a分析可知a受到的摩擦力大小为F，方向沿ab连线由b指向a，选项A正确；
B．当时，b做圆周运动的向心力此时向心力的方向与弹力方向垂直，则此时b受到的摩擦力大小为选项B正确；
C．当时，a做圆周运动的向心力此时a受到的静摩擦力大小为
选项C错误；
D．当时，对滑块b做圆周运动的向心力物块b与转盘间的静摩擦力
因可知滑块b与转盘之间的摩擦力达到最大值，则根据
可得动摩擦因数选项D正确。故选ABD。
7．（2024高三下·四川·开学考试）如图所示，粗糙圆盘沿同一直径放置正方体A、C，及侧面光滑的圆柱体B，一轻绳绕过B连接A、C，初始时轻绳松弛。已知，A、B、C与圆盘的动摩擦因数分别为和。现使圆盘从静止开始缓慢加速转动，转动过程中A、B、C始终未倾倒，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．物体与圆盘相对滑动前，A物体所受的向心力最大
B．细绳最初绷紧时，圆盘的角速度
C．圆盘上恰好有物块开始滑动时
D．物体与圆盘相对滑动前，C所受的摩擦力先减小后增大
【答案】AC
【详解】A．设A、B、C的质量分别为2m、3m、m，则向心力分别为，，
可知，A物体所受的向心力最大，A正确；
B．三者分别与圆盘的摩擦力达到最大静摩擦时 ；；
得，，，B的临界角速度最小，则细绳最初绷紧时，圆盘的角速度
，B错误；
C．A的临界角速度小于C的临界角速度，设恰好有物块开始滑动时绳的拉力为T，则
对A：；对C：得，C正确；
D．角速度较小时，C所受摩擦力指向圆心，由C选项可知，滑动时C所受摩擦力背离圆心，故物体与圆盘相对滑动前，C所受的摩擦力先增大后减小再增大，D错误。故选AC。
8．（2024高三下·湖南长沙·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。小物体质量为，与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为，取。则下列说法正确的是（ ）
A．角速度的最大值是
B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心
C．取不同数值时，小物体在最高点受到的摩擦力一定随的增大而增大
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为
【答案】AD
【详解】
A．当小物体随圆盘转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得代入数据解得故A正确；
B．由于小物体做匀速圆周运动，除了水平直径上的两点之外，在圆盘面内静摩擦力的一个分力要与重力沿斜面向下的分力相平衡，另一个分力提供做圆周运动的向心力，所以小物体运动过程中所受的摩擦力不一定始终指向圆心，故B错误；
C．小物体向心力的最大值为而大于向心力最大值，故最高点故小物体在最高点受到的摩擦力一定随的增大而减小，C错误；
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中，根据动能定理得代入数据解得摩擦力所做的功为故D正确。选AD。
9．（2024高三上·山东潍坊·期末）通用技术课上，某兴趣小组制作了一个电动爬杆小猴，原理如图所示，竖直杆OM与光滑杆ON均固定在电动机底座上，且ON与水平面间的夹角，一弹簧上端固定在OM杆上的P点，下端与穿在ON杆上质量为m的小猴相连。小猴静止时弹簧与竖直方向间的夹角，当电动机带动底座开始转动时，小猴开始爬杆。已知OP两点间的距离为L，重力加速度为g。则（ ）
A．小猴静止时杆对小猴的弹力方向垂直杆ON斜向下
B．小猴静止时弹簧弹力的大小为mg
C．小猴静止时杆对小猴的弹力大小为
D．电动机转动后，当小猴稳定在与P点等高的位置时杆的角速度为
【答案】AD
【详解】A．对小猴受力分析如图
由平衡条件可知，小猴静止时杆对小猴的弹力方向垂直杆ON斜向下，故A正确；
B．小猴静止时弹簧弹力的大小为故B错误；
C．由图可知，小猴静止时杆对小猴的弹力大小为故C错误；
D．由几何关系可知，小猴稳定在与P点时弹簧的长度与在P点时相等，故弹簧的弹力为
在P点，对小猴受力分析
水平方向由牛顿第二定律竖直方向由平衡条件联立解得
故D正确。故选AD。
10．（2024高三·吉林长春·开学考试）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球均静止时，弹簧的长度为L－
B．角速度时，小球A对弹簧的压力为mg
C．角速度
D．角速度从继续缓慢增大的过程中，小球A对弹簧的压力变小
【答案】AC
【详解】A．若两球静止时，对B球分析，根据受力平衡可知杆的弹力为零；设弹簧的压缩量为，对A球分析，受力平衡可得则弹簧的长度为故A正确；
BC．当转动的角速度为时，小球B刚好离开台面，则有设杆与竖直方向的夹角为，竖直方向有水平方向，由牛顿第二定律可得对A球依然处于平衡状态，则有由几何关系可得联立解得，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力为2mg，故B错误，C正确；
D．当角速度从继续增大，B球将飘起来，杆与竖直方向的夹角变大，对A、B组成的系统，在竖直方向始终处于平衡，则有则弹簧对A球的弹力为2mg，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力依然为2mg，故D错误。故选AC。
11．（2024高三·河南·期末）过山车是一种刺激的游乐项目，未经训练的普通人在承受大约5个重力加速度时就会发生晕厥。图甲过山车轨道中回环部分是半径为R的经典圆环轨道，A为圆轨道最高点、B为最低点；图乙过山车轨道中回环部分是倒水滴形轨道，上半部分是半径为R的半圆轨道、C为最高点，下半部分为两个半径为2R的四分之一圆弧轨道、D为最低点。若载人过山车可视为质点，分别从两轨道顶峰处由静止下降，经过A、C点时均和轨道没有相互作用，点B、D等高，忽略空气阻力和摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A．过山车经过A、C点时速度为0
B．图甲过山车轨道比图乙轨道更安全
C．图乙过山车轨道比图甲轨道更安全
D．图甲轨道的顶峰高度比图乙轨道的顶峰高度低R
【答案】CD
【详解】A．已知过山车经过A、C点时和轨道没有相互作用，重力充当向心力有解得
故A错误；
BC．分别运动到轨道最低点B、D时，人所受加速度最大，由动能定理，对图甲圆环轨道有
经过B点时加速度解得图甲过山车轨道存在安全隐患；对图乙倒水滴形轨道有
经过D点时加速度解得故图乙过山车轨道比图甲轨道更安全，故B错误，C正确；
D．相同载人过山车在顶峰处动能为0，经A、C点时动能相等，根据机械能守恒，有；
其中可得即图甲轨道的顶峰高度比图乙轨道的顶峰高度低R，故D正确。
故选CD。
12．（204高三·湖南长沙·模拟）如图所示，杂技演员做水流星表演时，用一绳系着装有水的小桶在竖直平面内绕O点做圆周运动，整个运动过程中水没有流出。已知小桶内水的质量为，O点到水面的距离为，水面到桶底的距离为，小桶直径远小于，重力加速度大小为。则小桶转到最低点时水对桶底的压力大小可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】整个运动过程中水没有流出，则在最高点最小速度时，最靠近圆心那一层水刚好没有流出，设此时角速度为，则有可得设最低点桶和水运动的角速度为，从最高点到最低点的过程，根据机械能守恒有在最低点，根据牛顿第二定律有
联立解得根据牛顿第三定律可知，小桶转到最低点时水对桶底的压力至少为。故选BC。
13．（2024高三·四川绵阳·一诊）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期
【答案】CD
【详解】A．小球在最高点时有所以可得将图线与横轴交点代入则得
则X星球的第一宇宙速度为，A错误；
BC．根据则X星球的质量为，X星球的密度为，B错误，C正确；
D．根据解得则环绕X星球运行的离星球表面高度为的卫星；则代入可得周期，D正确。故选CD。
14．（2024高三上·四川成都·模拟预测）如图（a），被固定在竖直平面内的轨道是由内径很小、内壁均光滑的水平直轨道和半圆形轨道平滑连接而成，在半圆形轨道内壁的最高和最低处分别安装M、N、P、Q四个压力传感器。一小球（可视为质点）在水平轨道内以不同的初速度向右运动（传感器不影响小球的运动）。在同一坐标系中绘出传感器的示数F与的图像I、II、III如图（b）所示。重力加速度。下列判断正确的是（ ）
A．直线I、II、III分别是 M、N、P传感器的图像
B．由图像可求得小球的质量
C．当时，Q传感器的示数为28N
D．当时，N传感器的示数为22N
【答案】BC
【详解】A．在Q点在N点对M点，P传感器不会受到压力作用，故A错误；
B．根据以上分析可知，I、II、III对应Q、M、N，由图像可求得，当速度为零时，在点Q：
所以小球的质量，故B正确；
C．根据图b可知，当时，N处弹力为零，此时到达N处的速度
对N处，当弹力为零时解得当时，Q传感器的示数为
解得故C正确；
D．当时，到达N点的速度，N传感器的示数解得
所以此时N传感器示数为零，故D错误。故选BC。
15．（2024高三下·江苏无锡·开学考试）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s；
（2）装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F；
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。
【答案】（1）0.25m；（2）2N；（3）
【详解】
（1）当装置转动的角速度为ω时，对小球B分析，在竖直方向由平衡条件有
在水平方向由牛顿第二定律有解得
（2）装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度为，则对小球B在竖直方向由平衡条件由
在水平方向由牛顿第二定律有解得设细线长度为L，则装置转动的角速度为ω时对圆环A满足装置转动的角速度为2ω时，对圆环A有
解得
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，对小球B得重力势能变化量为
动能变化量为
解得细线对小球B做的功为
16．（2024高三下·江苏·开学考试）如图所示装置，两根光滑细杆与竖直方向夹角都是θ，上面套有两个质量为m的小球，小球之间用劲度系数为k的弹簧相连。静止时，两小球静止在A、B处，当整个装置绕中心轴线缓慢加速旋转，当角速度为ω时，不再加速，保持稳定，此时两小球处于C、D位置，且此时弹簧中弹力与小球静止在A、B处时的弹力大小相等，试求：
（1）小球静止在A、B位置时弹簧的弹力大小F；
（2）稳定在C、D位置时弹簧的长度LCD；
（3）整个过程中细杆对弹簧小球系统做的功W。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球静止在A、B位置时，根据平衡条件弹簧的弹力大小为
（2）稳定在C、D位置时，对小球受力分析，重力、支持力、弹簧弹力的合力提供小球做圆周运动的向心力，竖直方向有水平方向有两小球处于C、D位置，且此时弹簧中弹力与小球静止在A、B处时的弹力大小相等，则解得
（3）小球稳定在C、D位置时，线速度为设弹簧原长为，根据胡克定律有；
根据几何关系有小球稳定在C、D位置时，上升的高度为因初、末状态弹簧的形变量相同，弹簧弹力对小球做功为零，故细杆对两小球所做总功为
