期末易错必刷题型专训（99题33个考点）
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、求二次根式中的参数
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 .
【答案】
【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值．
【答案】10，9，6，1
【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解．
【详解】由题意得，
又n为自然数，
∴，
∵是整数 ，
∴，，，，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列各式中x的取值范围是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义，分式的分母不能为0；二次根式被开方数非负．
根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0求出各选项的自变量的取值范围，从而得解．
【详解】解：A、由得，即，故本选项不符合题意；
B、由得，即，故本选项不符合题意；
C、由得，即，故本选项符合题意；
D、由得，即，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求解即可；．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且；
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：依题意，得：，
解得：；
又；
即；
∴；
；
故．
∴的值为．
易错必刷题三、利用二次根式的性质化简
1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
2．（23-24八年级下·天津河北·期中）当时，代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式值，其中．
解：原式 解：原式
【答案】(1)小亮
(2)2027
【分析】（1）根据二次根式的性质和得出答案即可；
（2）先根据和二次根式的性质进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和二次根式的性质，完全平方公式，能熟记当时，，当时，是解此题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴小亮的解法是错误的；
（2）∵
∴
．
．
易错必刷题四、复合二次根式的化简
1．（23-24八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
易错必刷题五、二次根式的运算
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·广东揭阳·一模）计算： ．
【答案】7
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
先根据平方差公式和二次根式乘法法则计算，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：7．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减即可求解；
（2）根据平方差公式，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错必刷题六、分母有理化
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测） =（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案．
【详解】解：原式
故选：C．
2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按上述规律，计算
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化以及数字列规律，先根据已有的条件推断出，再根据代入数值化简，即可作答．
【详解】解：∵第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
即第4个等式：，
……
以此类推：第个等式：，
则
，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分子，分母都乘以即可化简；
（2）先分母有理化，再算加减即可；
（3）小根据例子求出，得到，再变形计算代数式的值即可．
【详解】（1）．
故答案为：；
（2）
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
易错必刷题七、一元二次方程
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键．
将代入一元二次方程，求得，整体代入即可．
【详解】解：将代入一元二次方程得，
，即
∴．
故选：D．
2．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解：
材料1．若一元二次方程两根为，，则，．
材料2．已知实数，满足，，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
．
解决问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则______，______．
(2)已知实数满足，，且，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，．
（1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案；
（2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，
故答案为：4，；
（2）解：∵实数满足，，
∴m，n是方程的两根，
∴，，
∴．
易错必刷题八、一元二次方程的解法
1、（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若，则的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，
由题意得：，
∴，
∴．
故选：D
2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）一元二次方程的解是 ．
【答案】，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，原方程变形得，提取公因式x得出，即可求解．
【详解】解：原方程变形得：，
，
∴，，
故答案为：，．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，．
易错必刷题九、配方法
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义，
∴，
∴．
故选：A
2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法的意义，根据题意利用配方法求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)4
(2)4
(3)当时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了配方法的应用：
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；
熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是4．
（2），
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是4．
（3）设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
易错必刷题十、换元法
1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解，整体思想的运用，已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．
【详解】解： ，，是方程的解，
令，，满足方程，即．
，，
方程的解是：，．
故选：B．
2．（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．根据换元法即可求解．
【详解】解：方程，如果设，
∴
即，
故答案为：．
3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【分析】
本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想，
（1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可
（2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【详解】（1）
解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
易错必刷题十一、一元二次方程的应用
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，每个支干长出（ ）小分支
A．8 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意），
故选：A．
2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴第二、三季度销售额的平均增长率为，
故答案为：．
3．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
【答案】(1)50；
(2)80．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
（1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元，利用数量总价单价，结合两批衬衫购进的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出；
（2）设定价为a元，根据后一批衬衫每天的销售利润为3000元，即可得出关于a的一元二次方程的解法，一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来衬衫每件进价为50元．
（2）解：设定价为a元，根据题意得
．
整理得，
解得，
为了尽可能让利给顾客，
，
答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客．
易错必刷题十二、韦达定理
1．（2024·河南安阳·模拟预测）若是方程的两个根，则（ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案．
【详解】解：是方程的两个根，
，，
，
故选：C．
2．（2024·湖北襄阳·一模）已知a，β是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，
因此，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为求代数式的值；
(3)若，比较M与N的大小．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
（2）若一元二次方程的两个根为，则．
（3）判断的正负即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：根据韦达定理可得，
∴
（3）解：
∴
易错必刷题十三、平均数、中位数和众数
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一组数据，，，，的平均数是x，另一组数据，，，，的平均数是（ ）
A．x B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平均数，在解题时要根据算术平均数的定义，再结合所给的条件计算是解本题的关键．
【详解】解：这组数据，，，，的平均数是：
根据，，，，的平均数是x，
∴
,
把代入
．
故选：C．
2．（2024·河北邯郸·二模）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．分别假设众数为11，7，9分类讨论，找到符合题意的值即可．
【详解】若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意；
若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意；
若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意，
故答案为：9．
3．（2024·陕西咸阳·一模）2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
(2)若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
(3)若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
【答案】(1)20；C；86
(2)83.75
(3)估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）根据八年级D组有7人，占总人数的，即可求出总人数，从而求出七年级B组人数和中位数；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）用600×七年级和八年级成绩不低于95分人数所占比例即可．
【详解】（1）八年级D组有7人，占总人数的，
∴；
总人数是20人，
∴B组人数有
∴中位数是第10，11人
∴七年级竞赛成绩的中位数落在C组；
∵八年级竞赛成绩的众数落在D组，
∴众数是86；
（2）由题意得：
（3）由题意得：人
∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
易错必刷题十四、方差
1．（23-24九年级下·山东菏泽·期中）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了方差的意义，理解方差的意义是解题的关键．在平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩越稳定，即胜出，由此可以判断m的范围．
【详解】解：判定乙班胜出，甲、乙两班平均分都是95分，
，
，
故选：D．
2．（2024·山东德州·一模）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 ．（“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了折线统计图、方差的意义等知识，理解数据波动小的方差小是解题的关键．根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，
则．
故答案为：．
3．（2024·河南安阳·一模）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
(1) ， ， ．
(2)从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
(3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
【答案】(1)
(2)乙
(3)甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司．
【分析】本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得；
（2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得；
（3）从中位数和方差的意义进行分析即可得．
【详解】（1）解：将乙公司套餐得分相加除以7可得：
乙公司套餐平均数：，
将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数，
则，
在乙公司套餐得分中，出现的次数最多，为2次，
则其众数为，
故答案为：；
（2）甲公司套餐得分方差为：，
乙公司套餐得分方差为：，
，
乙公司套餐的得分较稳定；
（3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
选择乙公司套餐品质较好．
易错必刷题十五、多边形
1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）若一个多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形是（ ）
A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的外角与外角和的关系，需要熟练掌握并灵活运用．
先根据平角的定义求出每一个外角的度数，再根据边数外角度数计算即可．
【详解】解：，
，
这个多边形是正九边形．
故选：B．
2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把n边形分成个三角形，由此即可计算．
【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，
∴，
∴的值为．
故答案为：8．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键．
（1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可；
（2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可；
（3）把代入，计算得出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线，
∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为，
故答案为：；
（2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次，
∴n边形所有对角线的条数为；
（3）解：把代入，得，
∴一个十边形的对角线的条数为．
易错必刷题十六、平行四边形及其性质
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，点D在边上，以为边作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为 .
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点E、F在的对角线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质．
根据题意得到，然后证明出，进而得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
在和中，
．
∴．
∴．
易错必刷题十七、中心对称
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（2023·江苏无锡·模拟预测）给出下列4种图形：①线段．②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可）
【答案】①③④
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：①线段，既是轴对称图形又是中心对称图形；
②等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
③矩形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
④正六边形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
故答案为：①③④．
3．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．
(1)点B关于原点O对称的点的坐标为 ；
(2)与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为、、，请在图中画出．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了点关于原点的对称，在平面直角坐标系内作关于坐标轴对称的图形；
（1）根据关于原点的对称规律：“横纵坐标分别与原坐标互为相反数”，即可求解；
（2）按要求作出图形，即可求解；
掌握点关于原点的对称规律及对称图形的作法是解题的关键．
【详解】（1）解：点B关于原点O对称的点的坐标为，
故答案：；
（2）解：如图，
为所求作．
易错必刷题十八、平行四边形的判定定理
1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知四边形，对角线和相交于O，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，且
C．，且 D．，
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键；
根据平行四边形的判定定理逐个进行判断即可．
【详解】A． ，，两组对边相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B． ，且，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C． ，且，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
D． ，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 ．（填序号）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定分别进行求证即可．
【详解】解：∵，，
∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意；
∵，，
∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意；
∵，，
∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意；
∵，，
∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意；
故答案为：①④
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知：如图，在平行四边形中，，分别是，的角平分线．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的概念，
（1）首先根据四边形是平行四边形得到，，，然后由角平分线的概念得到，然后证明出即可；
（2）首先由四边形是平行四边形得到，然后由得到，进而证明出四边形是平行四边形．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
，分别是，的角平分线，
，，
在和中，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
，，即
又，
，
，
∴
又
∴四边形是平行四边形．
易错必刷题十九、三角形的中位线
1．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，是中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，等角对等边，根据平行四边形的性质可得，再根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴．
故答案为：2．
2．（23-24八年级下·北京·期中）中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
先证明，继而得到是的中位线，即可求解．
【详解】解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
故答案为：2．
3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O．
(1)求证：；
(2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理：
（1）证明，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵点G为的中点，，
∴是的中位线
∴．
易错必刷题二十、反证法
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
【答案】C
【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故选：C．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
【答案】是直角三角形．
【分析】本题考查的是反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在中至多有两个角大于．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论．
【详解】证明：假设中有三个内角大于，
则大于，大于，大于，
、、三个角之和大于，
这与三角形内角和等于相矛盾，
故在中至多有两个角大于．
易错必刷题二十一、矩形的判定与性质
1．（23-24八年级下·北京·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及有一个角是直角的平行四边形是矩形来进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、对边相等是矩形和平行四边形都有的性质，故该选项是错误的；
B、对角线互相平分是矩形和平行四边形都有的性质，故该选项是错误的；
C、对角线相等是矩形有的性质，而平行四边形没有，故该选项是正确的；
D、对角线互相垂直不是矩形和平行四边形有的性质，故该选项是错误的；
故选：C ．
2．（2024·黑龙江佳木斯·二模）如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大．
【详解】解：添加的条件是（答案不唯一），
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
3．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
【答案】4
【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，
首先得到，然后根据矩形的性质得到，然后证明出是等边三角形，即可得到．
【详解】∵
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴是等边三角形
∴．
易错必刷题二十二、矩形与折叠问题
1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质和折叠的性质．设，，根据矩形的性质和折叠的性质可得，从而得到，然后在中，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：设，，
∵矩形沿折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴重合部分的面积为．
故选∶B．
2．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则阴影部分的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，根据折叠得到，，结合得到，即可求出，结合勾股定理即可求出，即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，
∴，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴
∴，
故答案为：9.
3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，把矩形沿折叠，使点B落在点D处，点C落在点G处，已知．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的长度；
(3)求的长度；
【答案】(1)见解析；
(2)的长度为；
(3)．
【分析】（1）利用翻折得出，利用平行得出，从而得出，最终得出结果；
（2）设长，得出，在中，利用勾股定理得到，即，计算求解即可；
（3）根据已知再结合（1）易得，过点F作的垂线，垂足为Q，得到，，结合第（2）问得出，再由勾股定理得出结果；
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此题利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】（1）证明：由题意知：折叠后为，
∴，
又∵，
∴，
∴综上可得：，
∴是等腰三角形；
（2）解：设长，
∵折叠后是，
∴
由题意知，，
则在中，由勾股定理得：
，
即，
解得，
∴的长度为．
（3）解：由第（1）问知：，
又∵，
∴，
∴，
过点F作的垂线，垂足为Q，
∴，，
由第（2）问知
∴，
∴．
易错必刷题二十三、菱形的判定与性质
1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，，，，再根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】解：，，，分别是，，，的中点，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，
平行四边形为菱形，
故选：A．
2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求菱形的面积，二次根式的乘法．熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：菱形的面积是：．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定与性质得出，结合题意，菱形的判定方法即可求证；
（2）根据菱形的性质可得的长，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
，
，
是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
是直角三角形，点是斜边的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图所示，连接与交于点，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
的长为．
易错必刷题二十四、正方形的判定与性质
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
首先得到，，然后在中，得到，然后利用求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：C．
2．（2024·陕西商洛·二模）如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形性质及等腰直角三角形三边的关系．过作于，由正方形的边长为6，可得，，，而，故，根据是等腰直角三角形，求出，，再用勾股定理可得答案．
【详解】解：过作于，如图：
正方形的边长为6，
，，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，
；
故答案为：
3．（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，且，延长交于点G，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
解决问题：
（3）如图①，若，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）过点作于点，证明，结合，得到，得证；
（3）过点作，垂足为，证明，结合，得到，设，则，根据勾股定理，求得的值，再利用计算即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形．理由是：
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）．
证明：如图，过点作于点，
则．
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
由（1）知四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作，垂足为，如图：
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
．
，
，
根据（2），得到，
，
设，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
解得（舍去），
，
，
解得．
易错必刷题二十五、中点四边形
1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
证明：、、、分别为、、、的中点，
，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意；
C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加的条件是，
、、、分别为、、、的中点，且，，，，，
，
则四边形为菱形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知四边形中，分别是边的中点．若四边形是矩形，则对角线应满足条件 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形的中位线定理可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明矩形．
【详解】解：对角线应满足条件．
理由：∵E、F、G、H分别是边上的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)互相垂直且相等（且），证明见解析
【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．
（1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；
如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形；
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；
如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
易错必刷题二十六、特殊平行四边形的动点问题
1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
2．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
【答案】6或11/11或6
【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①当在上时，
的面积等于，
，
解得：；
②当在上时，
的面积等于，
，
，
解得：；
综上所述，的值为6或11，
故答案为：6或11．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）．
(1)当 秒时，四边形为矩形；
(2)在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由；
(3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？
【答案】(1)
(2)时，垂直平分线段；此时四边形为菱形，理由见解析
(3)当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形
【分析】（1）根据矩形的性质可得，列式计算，即可；
（2）根据垂直平分线的性质可知若垂直平分线段，则，再在中，利用勾股定理即可求得t，由此可得四边形的四边长度发现它是相等的，从而得出其为菱形；
（3）当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分当点P在线段上和当点P在线段的延长线上两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴轴，，
由题意得：
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：．
即当秒时，四边形为矩形；
故答案为；
（2）解：时，垂直平分线段；此时四边形为菱形，理由如下：
∵点A的坐标为，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即时，垂直平分线段；此时四边形为菱形；
（3）解：当点P在线段上时，，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
当点P在线段的延长线上时，，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题是四边形的综合题，以两个动点P、Q为背景，考查了平行四边形、矩形的性质及面积；此类题的解题思路为：首先根据运动路径、时间和速度确定其运动的路程，即能用时间t表示各条线段的长，再利用已知条件找等量关系列方程．
易错必刷题二十七、根据反比例函数的定义求参数
1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
2．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．
【详解】∵函数的图像经过点和，
，
，
故答案为：1．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值．
【答案】0
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出，然后代入求解即可．
【详解】解：因为是关于x的反比例函数，
所以，解得，
所以，
所以．
易错必刷题二十八、求反比例函数值
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知反比例函数，则下列各点中，不在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象上的点，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
分别将各点的坐标代入关系式，成立即符合题意，验证即可．
【详解】解：对于A，将，代入，得，所以该点不在函数图象上；
对于B，将，代入，得，所以该点在函数图象上；
对于C，将，代入，得，所以该点在函数图象上；
对于D，将，代入，得，所以该点在函数图象上．
故选：A．
2．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．把，代入，解答即可，
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得：，
故答案为：．
3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知y与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键．
（1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得；
（2）把代入（1）中所得解析式即得．
【详解】（1）∵y与成反比例函数关系，
∴设该函数的解析式为，
∵时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为：；
（2）∵，
∴当时，．
易错必刷题二十九、已知反比例函数的增减性求参数
1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，则下列说法错误的是（ ）
A．它的图象必经过点 B．当时，
C．当时，随的增大而减小 D．它的图象位于第二、四象限
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据的正负判断它的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质判断选项的正确性．
【详解】、当时，，所以函数经过点故选项正确，不符合题意；
、当时，，且函数的图象在二、四象限，每一个象限内，随的增大增大，所以当时，，故选项正确，不符合题意；
、因为，所以当时，随的增大而增大，选项错误，故项错误，符合题意；
、因为，所以它的图象位于第二、四象限．故项正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·福建三明·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数图象上两个点的横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，确定图象的性质，根据图象的性质确定k的取值范围．
【详解】∵，，
∴第一象限内，函数图象从左到右下降，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例的性质，
根据反比例函数得性质得，求解不等式即可；
将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式．
【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴，
解得；
（2）∵点在反比例函数图象上，
∴，
则，
故反比例函数解析式为．
易错必刷题三十、反比例函数的k值意义
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本体考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义以及其基本模型计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第二象限，
∴，
故选：D．
2．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，
∴，
∴．
故答案为：12．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值．
【答案】8
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键．
【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限，
∴，
∴四边形的面积．
解得．
易错必刷题三十一、反比例函数与一次函数的综合
1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数的中心对称性得出点的坐标为， 由函数图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，
点的坐标为，
由图象可得，不等式的解集为或，
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知直线与反比例函数．在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，x的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．
根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论．
【详解】根据题意，
当时，，
；
当时
直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和
要使，则直线要在反比例函数上面
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或．
故答案为：或．
3．（2023·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
(1)求对应的函数解析式；
(2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系．
（1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
（2）利用、点坐标结合图象进行求解即可．
【详解】（1）解：直线与双曲线相交于，两点，
，
，，
双曲线的表达式为：，，
把和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：；
（2）解：，，
关于的不等式的解集为或．
易错必刷题三十二、反比例函数与几何综合
1．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边中点和顶点都在反比例函数的图象上，且轴，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与点的坐标，解题的关键要恰当表示出反比例函数图象上点的坐标．
先根据反比例函数图象上点的坐标特征设，则，进而利用中点的坐标特征表示点的坐标，代入反比例函数解析式求出的值，再延长交轴于点，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设，则，
∵是的中点，
∴．
在图象上，
∴．
．
∴．
如图延长交轴于点，
轴，
∴．
∴．
∴．
∴．
又由题意可得，，
∴．
故选：C．
2．（2024·山东烟台·一模）如图，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是解答本题的关键.根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可.
【详解】轴于点，轴，
∴，
又 ，
∴四边形是平行四边形，
过点作轴，
则四边形是矩形，
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：.
3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的求解，即可．
（1）把点代入一次函数，求出；把点代入反比例函数，即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接；当三点共线时，的值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可．
【详解】（1）∵点在一次函数图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，连接，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，即，
∴设直线的解析式为：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点．
易错必刷题三十三、实际问题与反比例函数
1．（2024·山西太原·二模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
5 4 2 1 0.5 0.25
20 25 30 40 50 100 200 400
A．的值为2.5 B．与之间的函数表达式为
C．当时， D．随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压÷电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流=电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案．
【详解】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴，
∴，
故A不合题意；
∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
则，把代入得：
故，
即，
故B不合题意；
∵，
∴I随R的增大而减小，故D不合题意；
∴当时，，故C符合题意．
故选：C．
2．（2024·山西长治·二模）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度是服药时间x（h）的反比例函数，点在该反比例函数图象上，当血药浓度为时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 h后服药更合理．
【答案】5
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，设y与x之间的函数关系式为，先求解反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求解即可．
【详解】解：设y与x之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
当时，则，
故答案为：
3．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y；
(3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
【答案】(1)
(2)火焰的像高为
(3)若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答；
（2）把代入中，进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：设，把，代入中，
解得．
y关于x的函数表达式为．
（2）把代入中，解得．
火焰的像高为．
（3）由（2）可得，当时，．
由的图象可得，当时，y随x的增大而减小，
若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是．
期末易错必刷题型专训（99题33个考点）
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、求二次根式中的参数
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 .
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列各式中x的取值范围是的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知满足，求的值．
易错必刷题三、利用二次根式的性质化简
1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·天津河北·期中）当时，代数式的值是 ．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式值，其中．
解：原式 解：原式
易错必刷题四、复合二次根式的化简
1．（23-24八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
易错必刷题五、二次根式的运算
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东揭阳·一模）计算： ．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算：
(1)
(2)
易错必刷题六、分母有理化
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测） =（ ）
A．9 B． C． D．
2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按上述规律，计算
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
易错必刷题七、一元二次方程
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
2．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解：
材料1．若一元二次方程两根为，，则，．
材料2．已知实数，满足，，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
．
解决问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则______，______．
(2)已知实数满足，，且，求的值．
易错必刷题八、一元二次方程的解法
1、（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若，则的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）一元二次方程的解是 ．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解一元二次方程：
(1)
(2)
易错必刷题九、配方法
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ．
3．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
易错必刷题十、换元法
1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
2．（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
易错必刷题十一、一元二次方程的应用
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，每个支干长出（ ）小分支
A．8 B．9 C． D．
2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ．
3．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
易错必刷题十二、韦达定理
1．（2024·河南安阳·模拟预测）若是方程的两个根，则（ ）
A． B．16 C． D．20
2．（2024·湖北襄阳·一模）已知a，β是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为求代数式的值；
(3)若，比较M与N的大小．
易错必刷题十三、平均数、中位数和众数
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一组数据，，，，的平均数是x，另一组数据，，，，的平均数是（ ）
A．x B． C． D．
2．（2024·河北邯郸·二模）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是 ．
3．（2024·陕西咸阳·一模）2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
(2)若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
(3)若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
易错必刷题十四、方差
1．（23-24九年级下·山东菏泽·期中）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东德州·一模）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 ．（“”“”或“”）．
3．（2024·河南安阳·一模）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
(1) ， ， ．
(2)从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
(3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
易错必刷题十五、多边形
1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）若一个多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形是（ ）
A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形
2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为 ．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
易错必刷题十六、平行四边形及其性质
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，点D在边上，以为边作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为 .
3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点E、F在的对角线上，且．求证：．
易错必刷题十七、中心对称
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023·江苏无锡·模拟预测）给出下列4种图形：①线段．②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可）
3．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．
(1)点B关于原点O对称的点的坐标为 ；
(2)与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为、、，请在图中画出．
易错必刷题十八、平行四边形的判定定理
1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知四边形，对角线和相交于O，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，且
C．，且 D．，
2．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 ．（填序号）
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知：如图，在平行四边形中，，分别是，的角平分线．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
易错必刷题十九、三角形的中位线
1．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，是中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．（23-24八年级下·北京·期中）中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则 ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O．
(1)求证：；
(2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长．
易错必刷题二十、反证法
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在中至多有两个角大于．
易错必刷题二十一、矩形的判定与性质
1．（23-24八年级下·北京·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．（2024·黑龙江佳木斯·二模）如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是 （填一个即可）．
3．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
易错必刷题二十二、矩形与折叠问题
1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则阴影部分的面积为 ．
3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，把矩形沿折叠，使点B落在点D处，点C落在点G处，已知．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的长度；
(3)求的长度；
易错必刷题二十三、菱形的判定与性质
1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ．
3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为，求的长．
易错必刷题二十四、正方形的判定与性质
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
2．（2024·陕西商洛·二模）如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为 ．
3．（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，且，延长交于点G，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
解决问题：
（3）如图①，若，请直接写出的长．
易错必刷题二十五、中点四边形
1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知四边形中，分别是边的中点．若四边形是矩形，则对角线应满足条件 ．
3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
易错必刷题二十六、特殊平行四边形的动点问题
1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）．
(1)当 秒时，四边形为矩形；
(2)在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由；
(3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？
易错必刷题二十七、根据反比例函数的定义求参数
1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值．
易错必刷题二十八、求反比例函数值
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知反比例函数，则下列各点中，不在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，则的值为 ．
3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知y与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求y的值．
易错必刷题二十九、已知反比例函数的增减性求参数
1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，则下列说法错误的是（ ）
A．它的图象必经过点 B．当时，
C．当时，随的增大而减小 D．它的图象位于第二、四象限
2．（2024·福建三明·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是 ．
3．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
易错必刷题三十、反比例函数的k值意义
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值．
易错必刷题三十一、反比例函数与一次函数的综合
1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知直线与反比例函数．在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，x的取值范围是 ．
3．（2023·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
(1)求对应的函数解析式；
(2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集．
易错必刷题三十二、反比例函数与几何综合
1．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边中点和顶点都在反比例函数的图象上，且轴，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东烟台·一模）如图，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为 ．
3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上的一个动点，连接，，当最小时，求点的坐标．
易错必刷题三十三、实际问题与反比例函数
1．（2024·山西太原·二模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
5 4 2 1 0.5 0.25
20 25 30 40 50 100 200 400
A．的值为2.5 B．与之间的函数表达式为
C．当时， D．随的增大而减小
2．（2024·山西长治·二模）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度是服药时间x（h）的反比例函数，点在该反比例函数图象上，当血药浓度为时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 h后服药更合理．
3．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y；
(3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
