湖北省孝感市2024年中考数学考前冲刺试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）(共10题；共30分)
1．（3分）比较，，0，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）图书馆的标志是浓缩图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将有理数 130 542 用四舍五入法精确到千位是（ ）
A．130 000 B．1.30×10 5 C．1.31×10 5 D．1.31×10 6
4．（3分）如图是一种常用的圆顶螺杆，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计（可以不同年），下列说法正确的是（ ）
A．至少有两人生日相同
B．可能有两人生日相同，且可能性较大
C．不可能有两人生日相同
D．可能有两人生日相同，但可能性较小
7．（3分）如图，，，（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB＝40°，则∠AOB等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a-3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）(共5题；共15分)
11．（3分） ．
12．（3分）若m、n是关于x的一元二次方程x2-x+2=0的两个实数根，则m+n= .
13．（3分）从 ， ， ， ， 中任取一个数，取到有理数的概率是 .
14．（3分）如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点(―1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点的坐标是 。
15．（3分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，∠BAD=120 ，点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，直线l为过点O的任意一条直线，则点C到直线l的最大距离为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）(共9题；共65分)
16．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
17．（6分）已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
18．（6分）某毕业班班主任打算购买笔记本和书签作为毕业礼物送给学生已知书签的单价比笔记本的单价便宜元．且用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样．求笔记本和书签的单价．
19．（8分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某学校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，且有6名留守儿童的班级数占全校班级数的20%，并制成如下不完整的统计图：
（1）（3分）该校共有多少个班级？并将统计图补充完整；
（2）（2.5分）写出该校各班级留守儿童人数的中位数和众数；
（3）（2.5分）该校平均每班有多少名留守儿童？
20．（8分）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量，如图，在山坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，测得建筑物顶端的仰角为，已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：）
21．（8分）如图，等边 是圆的内接三角形，点D是 中点，过点D作 交 的延长线于点E．
（1）（4分）判断 与圆的位置关系，并说明理由
（2）（4分）若 ，求 的长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与函数 的图象相交于点 ， 轴于点B．平移直线 ，使其经过点B，得到直线l，求直线l所对应的函数表达式．
23．（11分）
（1）（4分）【证明体验】如图①，AD为的角平分线，．点E在AB上，．
求证：DE平分∠ADB．
（2）（3.5分）【思考探究】
如图②，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若，，，求BC的长．
（3）（3.5分）【拓展延伸】
如图③．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，．点E在AC上，．若，．直接写出CE的长．
24．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．
（1）（4分）请直接写出点B、C的坐标：B（ ）、C（ ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式 ；
（2）（4分）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据有理数比较大小的原则，负数＜0＜正数，负数数值越大值越小，正数数值越大值越大.
2．【答案】D
【解析】【解答】A、不是中心对称图形
B、不是中心对称图形
C、不是中心对称图形
D、是中心对称图形
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解： 130 542=131000=1.31×105.
故答案为：C.
【分析】根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：从正面看左边是一个大矩形，右边是一个小矩形，
故选：B．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A. ，故A不符合题意；
B. ，故B符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，进行计算求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、因为一年有365天而某学校只有320人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件．故本选项错误；
B、因为 ＞50%，所以可能性较大．正确；
C、两人生日相同是随机事件，故本选项错误；
D、由B可知，可能性较大，故本选项错误．
故选B．
【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=38°，
∴∠2=∠1=38°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质，结合图形求解即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵反 比例函数的图象在二、四象限，
∴2-m＜0，
∴m＞2.
故答案为：A.
【分析】首先根据反比例函数图象所在的象限，判断得出2-m＜0，从而得出m的取值范围，然后根据范围即可得出答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac>0，故①正确；
∵开口向上，对称轴为直线x==1，与y轴的交点在负半轴，
∴a>0，b=-2a<0，c<0，
∴abc>0，故②正确；
∵图象过点（3，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴当x=-3时，y>0，
∴9a-3b+c>0，故③错误；
∵抛物线过点（3，0），
∴9a+3b+c=0.
∵b=-2a，
∴5a+b+c=0，故④正确；
∵a>0，
∴1
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴y1
故答案为：D.
【分析】根据抛物线图象与x轴有两个不同的交点可判断①；由图象可得抛物线开口向上，对称轴为直线x==1，与y轴的交点在负半轴，据此可得a、b、c的符合，进而判断②；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（-1，0），则当x=-3时，y>0，据此判断③；根据抛物线过点（3，0）结合b=-2a可判断④；由二次函数的性质可得：当x>1时，y随x的增大而增大，据此可判断⑤.
11．【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】运用零指数幂和二次根式的加减运算，即可解答。
12．【答案】1
【解析】【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2-x+2=0的两个实数根
∴m+n=1
【分析】利用根与系数的关系求解， .
13．【答案】
【解析】【解答】解：有理数 ， ， 有3个，
∴P（取到有理数的概率）=
【分析】直接利用概率公式计算即得.
14．【答案】(26，50)
【解析】【解答】解：P1和P2的纵坐标都为1；
P3和P4的纵坐标都为2；
P5和P6的纵坐标都为3；
由此可以推出P99和P100的纵坐标都为50；
P4、P8、P12 、等4的倍数都在y轴的右侧，P1的横坐标为1，P4的横坐标为2，P8的横坐标为3，
以此类推可得Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）；
∴P100的横坐标为100÷4+1=26，纵坐标为50，即点P100 的坐标为（26，50）
故答案为：(26，50).
【分析】根据图中点的位置分析，可得从P1开始，每两个点的纵坐标相同，可得P100的纵坐标；
4的倍数的点的横坐标满足n÷4+1（n是4的倍数），进而可以求出点P100的横坐标.
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，过点C作CH⊥AD于点H，过点C作CE⊥l于点E，
∴∠CHD=∠HCB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∠HCD=∠30°，
∴DH=CD=×CD=2，
AH=6-2=4，
∴CH=
∴，
∴AO=AO=.
∵垂线段最短，
∴当CE⊥l， 点C到直线l的最大距离就是AO的长
∴CE≤AO=.
∴CE的最大距离就是.
故答案为：.
【分析】连接AC，过点C作CH⊥AD于点H，过点C作CE⊥l于点E，利用平行四边形的性质可证得∠BAD=∠BCD=120°，可求出∠HCD=∠30°，利用直角三角形的性质求出DH的长，利用勾股定理求出CH的长及AC的长，即可得到AO的长；利用垂线段最短可知CE≤AO，即点C到直线l的最大距离就是AO的长.
16．【答案】解：原式= × = × =2x，
当x= 时，原式=2× =
【解析】【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算，最后把x的值代入计算即可．
17．【答案】解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，∴a2+b2=c2，即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），∵a为质数，∴c+b=a2，c﹣b=1，∴a2=2b+1，∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，∴2（a+b+1）是完全平方数．
【解析】【分析】由勾股定理变形得a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），根据a为质数可得c+b=a2，c﹣b=1，于是可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）可得证。
18．【答案】解：设书签的单价为元，则笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：笔记本的单价为元，书签的单价为元．
【解析】【分析】 设书签的单价为元，则笔记本的单价为元 ，根据题意列出关于x的方程，解方程即可求出答案。
19．【答案】（1）解：∵，
∴该校共有20个班级；
留守儿童数为4名的班级数为：（个），
统计图补充完整如下：
（2）解：按从小到大排列，位于第10、第11个数据都是4，则中位数为，出现次数最多的是有5名留守儿童的，
∴该校各班级留守儿童人数的中位数是4，众数是5
（3）解：．
∴该校平均每班有4名留守儿童
【解析】【分析】（1）根据统计图可以得出有6名留守儿童的班级有4个，且知道它占所有班级的20%，所以用4÷20%即可求出所有的班级个数，然后再从班级总数里边减去其它班级个数，即可求得留守儿童只有4名的班级个数，并将统计图补充完整即可；
（2）根据中位数和众数的定义，分别求出中位数和众数即可；
（3）根据平均数的定义，计算20个数据的平均数即可。
20．【答案】解：过点作，垂足为，作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴米，米，
设米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（米），
∴建筑物的高度约为31.9米．
【解析】【分析】过点作，垂足为，作，垂足为，先根据矩形的性质得到，再解直角三角形结合勾股定理即可得到米，米，设米，则米，再结合题意解直角三角形，从而解分式方程即可求解。
21．【答案】（1）解： 与圆的位置关系是相切，理由如下：
如图，设圆的圆心为点O，连接OD，
点D是 中点，即半径OD平分 ，
，
，
，
又 为圆O的半径，
是圆O的切线，
即 与圆的位置关系是相切；
（2）解：如图，连接OC，则 ，
等边 是圆的内接三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，
，
则 的长为 ．
【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据垂径定理推论可得 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据圆的切线的判定即可得；（2）先根据圆内接等边三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定与性质可得 ，然后根据角的和差、平行线的性质可得 ，最后根据直角三角形的性质和勾股定理可得 ，据此利用弧长公式即可得．
22．【答案】解：将 代入 中， ，∴
∵ 轴于点B， ．
将 代入 中， ，解得
∴设直线l所对应的函数表达式为 ．
将 代入上式，得 ，解得 ．
∴直线l所对应的函数表达式是 ．
故答案为： ．
【解析】【分析】求出A点的坐标，求出B点的坐标，再用待定系数法求出正比例函数的解析式，最后求出一次函数的解析式即可．
23．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴，即DE平分∠ADB；
（2）解：∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：4
【解析】【解答】解：（3）在AB取点F，使得AF=AD，连接CF，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
即
∵
即
∴
∴
∵
∴.
【分析】（1）根据角平分线的定义得到：，进而利用"SAS"证明，得到：，进而根据角的运算求出∠EDB的度数，进而即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到：，进而证明，得到，进而再结合（1）中的全等和已知条件即可求出BC的长度；
（3）在AB取点F，使得AF=AD，连接CF，利用"ASA"证明得到：进而证明得到：据此即可求解.
24．【答案】（1）3，0；0， ；
（2）解：①∵△OCE∽△OBC
∴
即
解得
∴
即 时，△OCE∽△OBC
②存在，理由如下：
抛物线的对称轴为
∴点E为抛物线的对称轴与x轴的交点
∵ ， 轴，
∴△ACE是等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴
由 可得直线AC的解析式为
∵点E
∴直线EF的解析式为
联立
解得 ，
∴点M的坐标为 或 （舍去）
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形
( 1）当 时，
∴点P的坐标为 或
( 2）当 时，
∵
∴
∴点P的坐标为
( 3）当 时，
∴点P的坐标为
综上所述，抛物线对称轴上存在点P 或 或 或 ，使△PEM是等腰三角形．
【解析】【解答】（1）∵点
∴
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角
∴ ，
∴点 ，点
设抛物线解析式为
解得
∴抛物线解析式为
【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF//AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．
