安徽省淮南市2024届中考数学5月模拟试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在2，，，3这四个数中，比小的数是（ ）．
A．2 B． C． D．3
2．今年“清明节”假日期间，我省银联网络交易总金额接近282亿元．其中282亿用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．某班有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，则选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，有最小值的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为
C．周长的最小值为 D．的最小值为3
9．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ）
A．众数是90分 B．方差是10 C．平均数是91分 D．中位数是90分
10．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图像上．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．因式分解：
12．若x和y互为倒数，则= ．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，解答下列问题：
（1）EF＝ ；
（2）若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为 ．
14．如图，已知与中，，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过的中点及点．
（1） ；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．解不等式：．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移4个单位长度得到画出
(2)将关于直线对称得到画出．
19．“吃粽子，赛龙舟”是端午节的习俗，一直保留至今，某校为了解学生对端午节习俗的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查，通过调查统计，将该校学生对端午节习俗的喜爱程度分为四个等级：．非常喜爱，．比较喜爱，．一般喜爱，．不喜爱．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
(1)这次抽查的学生人数是______人，图中______，______，补全条形统计图；
(2)已知该校在校学生人数为2800人，请估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数；
(3)老师计划从对端午节习俗非常喜爱的甲、乙、丙、丁、戊五名学生中选取两人参加学校组织的端午节习俗宣讲活动，请用“列表法”或“画树状图法”，求出甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率．
20．春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为6秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多，求快引线燃烧的速度？
21．如图，是的直径，，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．求的半径．
22．清风阁（如图1）位于合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年，弘扬包公精神，宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图2，为了测量清风阁的高度（），菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处，利用无人机进行测量，但由于周边树木遮挡，无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量，因此她先控制无人机从点C与地面成向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达阁顶A（A，B，O，C在同一平面内），已知无人机的速度为6米/秒，，求清风阁AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：，）．
23．如图1，四边形是正方形，，点E是边上一点，连接 ，作的平分线交于点F，连接．
(1)如图2，当点E跟点C重合时，求的长；
(2)当点E在上运动时：
①当点F为边的中点，求证：；
②求证：．
24．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E．
①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标；
②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，负数的绝对值越大的数反而小，据此即可作答．
【详解】解：是正数比负数大，
则，
∴比小的数是，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：282亿．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方的知识；根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方的性质，对各个选项进行分析，即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
去分母，移项，系数化1即可求解．
【详解】解：
，
解得：，
∴原不等式的解集为：，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能的结果和恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为6个，
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率是，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质．根据反比例函数的性质，二次函数的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、没有最小值，故本选项不符合题意；
B、没有最小值，故本选项不符合题意；
C、的最小值为0，故本选项符合题意；
D、有最大值，故本选项不符合题意；
故选：C
7．D
【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D
8．B
【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求；
B、设，，进而即可判断．
C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意；
【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线．
和分别是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形．
是的中点，
是的中点．
直线，
直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小．
，，
．
在中，，故本选项不符合题意；
B、设，则．
，
．当时，有最大值，最大值为，
∵，
∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意．
C、四边形是矩形，
，
的周长为．
的最小值为3，，
的周长的最小值为，故本选项不符合题意；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，
，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线．
9．B
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】解：A、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；
B、方差是：；故此选项符合题意；
C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．
10．A
【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
【详解】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、，如图所示：
则，
三角形是等腰直角三角形，
，，
，
∵斜边的中点在反比例函数，
即，
，
设，则此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质、反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算找出规律，推断出一般性的结论是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查分式的化简求值，注意互为倒数即相乘为1，先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果即可．
【详解】解：
，
∵x和y互为倒数，
∴，
，
故答案为：4．
13． 34
【分析】（1）如图，过E作EM⊥BC于M，根据正方形的性质得出MF、EM的长，利用勾股定理即可得答案；
（2）如图，过E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥CD于N，交EF于O，由（1）可得EF的长，根据题意可得G，H在正方形ABCD的边上时，GH最大，可得菱形EGFH的面积最大，利用AAS可证明△EMF≌△GNH，从而可得：GH=EF，利用菱形面积公式即可得答案．
【详解】（1）如图，过E作EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝AD＝8，∠A＝∠B＝90°，
∴BM＝AE＝3，EM=AB=8，∠EMF＝90°，
∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝8﹣3﹣3＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为：
（2）如图，过E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥CD于N，交EF于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴S菱形EGFH＝EF×GH，EF⊥GH，
∴当菱形EGFH的面积最大时，只需GH值最大，
根据题意可得G，H在正方形ABCD的边上时，GH最大，
∴∠EMF＝∠GNH＝90°，EM＝GN＝AB＝8，
∵EM⊥BC，
∴EM⊥NG，
∵EF⊥GH，
∴∠MEF+∠EOG=∠NGH+∠EOG=90°，
∴∠MEF＝∠NGH，
在△EMF和△GNH中，，
∴△EMF≌△GNH（AAS），
∴GH＝EF＝2，
∴S菱形EGFH＝EF×GH＝×2×2＝34，
即菱形EGFH的最大面积为34，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了正方形，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】（1）如图，过点作轴于，得出轴，可证明，根据相似三角形的性质可得出，根据反比例函数图像上点的坐标特征可得值；
（2）设，根据点坐标表示出、的长，根据得出是等腰直角三角形，即可得出，可得，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于，
∴轴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，即，
∵反比例函数的图象恰好经过的中点，
∴．
故答案为：
（2）设，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
整理得：
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
15．
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简是解题的关键．
根据零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16．；
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，再求出x的值，代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查图形的平移与对称，熟练掌握平移规律和对称的作图方法是解题的关键，
（1）根据平移规律：各个顶点都向右平移4个单位即可得到；
（2）根据图形对称的性质找到各个顶点关于直线的对称点，再连接各点即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求．
19．(1)，，
(2)910
(3)
【分析】（1）用类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出类别人数所占百分比，得出和，补全条形统计图即可；
（2）由该校总人数乘以“一般喜爱”所占百分比即可；
（3）首先根据题意列出树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】（1）解：这次抽查的学生人数为：（人），
则的人数为：（人），
，，
，，
条形统计图补充完整如下：
故答案为，，；
（2）解：估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数为（人）；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的结果有14种，
甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，用样本估计总体，概率公式的应用，掌握相关定义是解题的关键．
20．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设慢引线的速度为，则快引线的速度为，根据引线的总长达到了从而燃尽时间延长了，即可列方程，进而作答．
【详解】解：设慢引线的速度为，则快引线的速度为，
则有，
解得，
则．
答：快引线的速度为
21．(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等：
（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明，，进而得到，据此可证明结论；
（2）由三线合一定理得到，解得到；再解得到，则由勾股定理可得，即可得到的半径为10．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，
，
；
在中，
，
，
，
的半径为10．
22．42米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点O作，交BC的延长线于点D，过点O作，垂足为E．根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E．
由题意得：（米），（米），，，
∴，
∵，
∴，
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
答：清风阁的高度约为42米．
23．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）过点F作于点G，根据正方形的性质，结合角平分线的性质推出，进而得到，设，，根据，列出方程求解即可；
（2）①如图，证明，，得到，，进而得到，即可得证；
②延长至点H使得，连接，先证明，再证明，根据，即可得证．
【详解】（1）解：如图，过点F作于点G，
∵正方形，
∴，，
∵平分，，，
∴，
∴．
设，，
∴，即：，
解得，
∴．
（2）①如图，
由（1）和题意得：，
∵，
∴，，
，，
，
，即．
②如图，延长至点H使得，连接，
∵，
∴，
∴，，
，
．
∵，
∴，
，
，
．
24．(1)
(2)①；②存在，点F的坐标为或或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：①令，则，∴，
设直线的解析式为，将代入得，
解得，
∴线段的解析式为，
设、，则，
∵，
∴当时，最大，此时；
②存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
设点；
当时，，此时点F的坐标为；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
综上，点F的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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