2024年九年级中考数学复习三角形综合问题专项训练
1．如图， 内接于 ，AB是直径，延长AB到点E，使得 ，连接EC，且 ，点D是 上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F.
（1）求证：EC是 的切线；
（2）若BC平分 ，求AD的长.
2．如图，是的直径，点C是上一点，连接，点D在的延长线上，，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的面积．
3．如图， ， ，D为 延长线上一点，点E在 边上，且 ，连结 、 、 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
4．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在 中，是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．
（1）求证：≌；
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？说明理由．
6．如图，抛物线与x轴交于A、B点，与y轴交于C点，顶点为
D，其中点A、C的坐标分别是（－1，0）、（0，3）.
（1）求抛物线的表达式与顶点D的坐标；
（2）连结BD，过点O作OE⊥BD于点E，求OE的长.
7．如图，中，，E、F为线段BC上两点，连接FA并延长到点D，连接DE，使，且．
（1）找到与相等的角，并说明理由；
（2）若，，求CE的长度．
8．已知，为的弦，且.
（1）如图1，若，求阴影部分的面积；
（2）如图2，若点C为的中点，点D为的中点.请仅用无刻度的直尺过点B作的的切线.
9．如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．
10．如图，已知 ， ，线段 上从左到右依次有两点 ， （不与 ， 重合）.
（1）求证： ：
（2）比较 ， ， 的大小，并说明理出；
（3）若 ， 平分 ，且 ，求 的度数.
11．如图的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上．
（1）求各边边的长
（2）求的面积
12．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．
（1）求证：OB=OA；
（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是 度．
13．如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补.
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
14．如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交CB于点P.按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作法，保留作图痕迹）
（1）过点P作CB的垂线交AB于点Q.
（2）证明：PQ=AQ
16．如图，，为边上一点.且，.求证：
（1）.
（2）.
17．如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC，垂足为E，AD⊥BC，垂足为D，∠BAD= 45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
18．如图：已知中，点D在边上，点E是边的中点，且，，，，
（1）试判断的形状
（2）求的长．
19．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AB的延长线上，且AB＝BE，连结CE．
（1）求证：BD∥EC．
（2）若AD＝5，CE＝6，求菱形ABCD的面积．
20．如图， D，E，F，G 是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
（1）求证：BE∥GF；
（2）若 BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF 的度数．
21．如图
（1）已知：如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请判断∠AOC与∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）已知：如图3，∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．直接写出锐角∠MPN的度数是 ．
22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12，求的值.
23．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
（1）如图①，求证：DE∥BC；
（2）若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.
24．如图，AB为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于Q．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OA=AQ=3，则①PC= ，②△PBQ的面积为 ．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值.
26．在△ABC中，∠ACB=2∠B，
（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
27．如图
（1）猜想：如图①，D是等边 边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边 ，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？直接写出你发现的结论．
（2）论证：如图②，当动点D运动至等边 边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
（1）求直线的表达式．
（2）如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
（3）如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
29．
（1）发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE.
填空：
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 .
（2）探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
（3）应用
如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6.若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长.
30．如图1，在△ABC中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
（1）填空：△ABC≌△ ；AC和BD的位置关系是
（2）如图2，当AB=BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若AC=8cm，BD=6cm，则点B到AD的距离是 cm，若将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长为 cm．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OC.
，
.
，
.
是 的直径，
.
.
，即 .
又 是 的半径，
是 的切线
（2）解： 平分 ，
.
，
.
又 ，
.
又 是 的直径，
.
在 中，
，
.
.
在 中， ，
.
，AB是 的直径，
.
在 中， ，
2．【答案】（1）证明：如图：连接 ，
∵AB为直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，即
∴
∵ 是 的切线
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∵
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
3．【答案】（1）证明 ， 为 延长线上一点，
，
在 和 中， ，
.
（2）解： ， ，
，
.
，
，
又由 知 ，
.
.
的面积 .
4．【答案】（1）解：将 ， 两点代入反比例函数
得 ， ，得 ， ，所以 ，
将 ， 代入一次函数
得 ， ，解得 ，
即
（2）解：设一次函数 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，再过 ， 两点分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 ， 两点，如图1，
当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的面积为
（3）解：存在，如图2，
当AB和OB为邻边时，点B（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O（0，0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（2-6，3-1），即P（-4，2）；
当OA和OB为邻边时，点O（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A（2，3），
则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P'（6+2，1+3），即P'（8，4）；
当AB和OA为邻边时，点A（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B（6，1），
则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P''（4，-2）；
∴点P的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．
5．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在与中
，
≌．
（2）解：四边形是菱形
理由：，且，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
≌，
，
，
，
，
四边形是菱形．
6．【答案】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）分别代入抛物线，
得：，
∴.
∴抛物线的表达式为y=－x2+2x+3，
∴y=－x2+2x+3 =－（x－1）2+4，
∴顶点坐标D（1，4）.
（2）解：连结OD，
设对称轴与x轴交于点F，则DF=4，
∵A（－1，0），对称轴为x=1，
∴B（3，0），BF=2，
由勾股定理得，
∵S△OBD=，
∴，
∴.
7．【答案】（1）解：，理由如下：
如图，由三角形的外角性质得：，
，
；
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
则，
，
，
在和中，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
．
8．【答案】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：.
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点E，连接，并延长交于点F，作直线，则为所求作的切线.
9．【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
∵DE∥BF，
∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝FA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴AB＝CD；
∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝FA．
10．【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
（2）解： ＞ ＞ ，理由如下：
∵ 是△BEF的一个外角
∴ =
∴ ＞
∵ 是△BDF的一个外角
∴ =
∴ ＞
∴ ＞ ＞
（3）解：设 ，∠EBF=y，
∵
∴
∵
∴
∵ 平分
∴∠EBA=∠EBF=y
∴ =4x+y
∵
∴
∴
∵
∴4x+y= ①
∵
∴
即2y+x= ②
联立①②解得
∴ =14°+42°=56°
11．【答案】（1）解：如图所示：
，，
由勾股定理得：，，
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴
∴∠ABC=90°
∴
12．【答案】（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∴∠EBA=∠DAB=135°．
在△ABD与△BAE中，
，
∴△ABD≌△BAE（SAS），
∴∠DBA=∠EAB，
∴OB=OA；
（2）22.5
13．【答案】（1）解：如图1，
∵与互补，
∴，
又∵，，
∴，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，
由（1）知，AB∥CD，
∴，
又∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，即，
∵，
∴PF∥GH；
（3）解：的大小不发生变化，理由如下：
如图3，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的大小不发生变化，一直是.
14．【答案】（1）解：作轴，垂足为点，
把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
即，
在和中，
，
（），
，，
点，
，，
点的坐标为，，
反比例函数的图象经过点，
；
（2）解：设的解析式为，
点，
，
解得，
的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得，
点坐标为．
15．【答案】（1）解：如图：
（2）证明：∵AP 平分∠CAB
∴∠CAP=∠PAB
∵PQ⊥CB ，
∠C＝90°
∴AC∥PQ
∴ ∠CAP=∠APQ
∴ ∠PAB=∠APQ
∴ PQ=AQ
16．【答案】（1）证明：，
与都是直角三角形，
，
，
在与中，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
.
17．【答案】（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD= BD，
∵BE⊥AC AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，
在AADC和△BDF中，，∴AADC≌△BDF (ASA) ，
∴BF=AC，∵AB= = BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE
（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD= ，
在Rt△CDF中，CF= =6，
∵BE⊥ AC，AE=EC，∴AF=CF=6，∴AD=AF+DF=6+ ．
18．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴∠CDB=90°，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：
由（1）得∠CDB=90°
∴∠ADC=90°，
∵DE=2，E是AC的中点，
∴AC=2DE=4，
∴，
∴.
19．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB∥DC，AB=DC，
又∵AB=BE，点E在AB的延长线上，
∴BE=DC且BE∥DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥EC.
（2）解：∵菱形ABCD，AD=5
∴AB=5，AC与BD垂直且平分，
∴∠AOB=90°，AO=OC，
又∵AB=BE，CE=6，
∴BO=CE=3，BD=2BO=6，
∴AO==4，
∴AC=2AO=8，
∴S菱形ABCD=AC·BD=×8×6=24.
20．【答案】（1）证明：证法 1：∵∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC．
∴∠BED＝∠EBC．
∵∠DEB＝∠GFC，
∴∠EBC＝∠GFC．
∴BE∥GF．
证法 2：∵ ∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC．
∴∠AED＝∠C．
∵∠AED＋∠BED＋∠BEC＝180°，∠C＋∠GFC＋∠FGC＝180°，
∴∠AED＋∠BED＋∠BEC＝∠C＋∠GFC＋∠FGC．
∵∠DEB＝∠GFC，
∴∠BEC＝∠FGC．
∴BE∥GF．
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BDE＋∠ABC＝180°．
∴∠ABC＝180°－∠BDE＝180°－110°＝70°．
∵BE 平分∠ABC，
∴
∵BE∥GF，
∴∠GFC＝∠EBC＝35°
∵ ∠C＋∠GFC＋∠CGF＝180°
∴ ∠CGF＝180°－∠C－∠GFC＝180°－50°－35°＝95°
21．【答案】（1）解：∠AOD+∠BOD=90°，理由如下：
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COD=90°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COD=2∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD=90°；
（2）解：∠AOC+∠BOC=180°，理由如下：
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠COD=2∠BOC，
∵∠AOC+∠COD=180°，
∴∠AOC+∠BOC=180°；
（3）45°
22．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴.
23．【答案】（1）证明：如图1，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°；
∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DE∥BC.
（2）解：成立.
如图2，连接EC；
∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°；
∵∠EAC=90°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，
∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，
∴DE∥BC，
即（1）中的结论仍成立.
24．【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC∥OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
在△OPC和△OPB中
∴△OPC≌△OPB（SAS），
∴∠OCP=∠OBP，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）；
25．【答案】（1）解： 抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
，
解得 ，
.
（2）解：连接 ，交l于点P，连接 ， ，如图，
两点关于对称轴l对称，
的周长为
的周长最小值为
由 ，令 ，解得 ，
即
在 中
即 的周长最小值为 .
26．【答案】（1）解：∵AD为∠ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD
（2）解：①AB=AC+CD．
理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，
∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
②AC+AB=CD．
理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠EAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，
∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．
27．【答案】（1）解： ，证明如下：
和 都是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
；
（2）解： 仍然成立，证明如下：
和 都是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
．
28．【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
29．【答案】（1）120°；CA＝CE+CD
（2）解：∠DCE＝90°； CA＝CD+CE.
理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°.
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°.
在等腰直角三角形ABC中，CB＝ CA，
∵CB＝CD+DB＝CD+CE，
∴ CA＝CD+CE.
（3）解：DA＝5 或 .
作DE⊥AB于E，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
∵∠BDC＝90°，DB＝DC，
∴DB＝DC＝ ，∠BCD＝∠CBD＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴BE＝6﹣DE，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴DE2+(6﹣DE)2＝26，
∴DE＝1，DE＝5，
∴AD＝ 或AD＝5 .
30．【答案】（1）ADC（SSS）；AC⊥BD
（2）四边形ABCD是菱形．
理由如下：由（1）可得AB=AD，CB=CD，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形
（3）；2 .
