励志高级中学2023-2024学年高一年级第二学期第三次调研考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
考生注意
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．
2．答题前考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作案无效．
4．本卷命题范围是苏教版必修第二册第9－13章
第I卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（基础题）设复数满足；则（ ）
A． B． C． D．2
2．（基础题）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.（基础题）己知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（基础题）已知角的终边经过点，则（ ）
A．5 B． C． D．
5．（基础题）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（中等题）已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0.5
7．（中等题）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（中等题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．（基础题）下列选项中，正确的有（ ）
A．设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B．若角的终边过点且，则
C．在中，
D．若，则
10．（基础题）如图所示，AB是半圆O的直径，A垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面VAC B．平面ABC
C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC
11．（创新题）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡上的相应位置）
12．（基础题）如图，菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，则的值为________．
13．（基础题）已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为________．
14．（创新题）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（基础题）（13分）若，，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若与的夹角为，求实数m的值．
16．（基础题）（15分）已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求a，c的值及的面积．
17．（中等题）（15分）如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面ABC，，，，，．
（1）证明：；
（2）若的面积为，求三棱锥的体积．
18．（中等题）（17分）中，，，．
（1）若，求AC的长度；
（2）若，求．
19．（创新题）（17分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设，求证：；
（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点M运动时，求的取值范围．
