2024年初中学业水平考试适应性测试卷
数 学
（满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各数中，最大的数是（ ）
A． B．2 C． D．3
2．下列四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体主视图和俯视图都相同的是（）
A．圆柱体 B．圆锥 C．正方体 D．三棱柱
4．下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据7，6，8，8，9，10的众数是8，中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为，，则甲组学生的身高较整齐
D．“每天太阳从西边出来”是随机事件
6．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．若有意义，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．5 D．7
8．已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
9．如图，是大半圆的直径，以点为圆心，的长为半径的小半圆交于，两点，弦切小半圆于点，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
第9题图
A． B．
C． D．
10．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（ ）
甲 乙
第10题图
A．铁块的高度为
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为
C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为
D．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．2023年，湖北省全年生产总值达到55803亿元，比上一年增长，高于全国0.8个百分点．将数据55803用科学记数法表示为______．
12．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是______．
13．如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为20海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是______海里．（结果保留根号）
第13题图
14．古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”此题笼里的鸡有______只，兔有______只．
15．如图，是正方形的边的中点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是______．
第15题图
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，在四边形中，，相交于点，，，．求证：四边形是矩形．
18．（6分）由小正方形组成的网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
图1 图2
（1）在图1中，作边的垂直平分线；
（2）在图2中，作．
19．（8分）湖北省，简称“鄂”，是中国省级行政区，省会位于武汉，地处中国中部，东邻安徽，西连重庆，西北与陕西接壤，南接江西、湖南，北与河南毗邻，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着很多游客前来探索．某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
（1）这次该单位组织旅游的人数是______人；
（2）扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数是______；
（3）甲、乙两人分别从A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼这四个景点中随机选择一个景点游览．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择A景点的概率．
20．（8分）如图，直线与反比例函数（为常数，）的图象相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）求出点的坐标；
（3）是直线所在第二象限部分上一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当时，请直接写出的取值范围．
21．（8分）如图，在中，以为直径的交于点，交于点，为的中点，为的中点，连接，．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
22．（10分）某企业投入200万元（只计入第一年成本）购买一套技术设备生产一种产品，产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．第一年除200万元外，其他成本为30元件．
（1）求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润是25万元，第二年由于管理的加强，原材料的下降，其他成本下降了2元件．
①求该产品第一年的售价；
②若该产品第二年的售价不高于第一年，销售量不超过25万件，求该企业第二年的利润最少是多少万元．
23．（11分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
图1 图2 图3
特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为8的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．
图4
24．（12分）已知抛物线过，，三点．
图1 图2 备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在上方的抛物线上有一点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3）如图2，抛物线的顶点为，若在抛物线上有一点，使得，求点的坐标；
（4）点是抛物线上任意一点，设点到直线的距离记为，根据的不同取值，试探索点的个数情况．
