2024年山东省淄博市沂源县中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列表述中能确定准确位置的是( )
A. 教室第列 B. 辽宁大剧院第排
C. 北偏东 D. 东经，北纬
4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数环
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.已知三角形三个内角的度数之比为：：，且，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
6.如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标，是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知点是平行四边形边上的一个动点，连接，过点作的延长线于点，过点作，交于点，记四边形的面积为，在整个运动变化的过程中，四边形的面积变化的情况是( )
A. 一直在减小 B. 一直不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
9.如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接和，，分别为，的中点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：，，，当时，，其中正确的结论是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是______．
12.把分解因式得：，则的值为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则该圆弧的半径 ______．
14.如图，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为即图中时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离，木板超出车厢部分，则木板的长度为______．
参考数据：，，精确到．
15.如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；按照此规律作下去若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，，则的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
如图，点在的外部，点在上，交于点，，求证：≌．
18.本小题分
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
19.本小题分
“凑够一拨人就走，管它红灯绿灯．”曾经有一段时间，“中国式过马路”现象引起社会广泛关注和热议交通安全与我们的生活息息相关，“珍惜生命，文明出行”是每个公民应遵守的规则某市为了解市民对“闯红灯“的认识，随机调查了部分市民并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表．每位市民仅持一种观点
调查结果统计表
观点 频数
A.看到车少可以闯红灯
B.无论什么时候都不能闯红灯
C.因为车让行人，行人可以闯红灯
D.凑够一波人，大家一起过马路时可以闯红灯
根据以上统计图表，解答下列问题：
本次接受调查的市民共有______人；______；______；
扇形统计图中，扇形的圆心角度数是______；
若该市约有万人，请估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人，行人可以闯红灯”观点的人数大约共有多少．
20.本小题分
某商店第一次用元购进铅笔若干支，第二次又用元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了支．
求第一次每支铅笔的进价是多少元？
若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于元，问每支售价至少是多少元？
21.本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
Ⅰ求一次函数和反比例函数的解析式；
Ⅱ填空：
直接写出不等式的解集______；
点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小用号连接，其结果是______．
22.本小题分
问题发现
在中，，，点为直线上一动点，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．
如图，当时，试猜想：
与的数量关系是______；______；
拓展探究
如图，当时，请判断与的数量关系及的度数，并说明理由．
解决问题
如图，在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接，当时，请直接写出的长度．
23.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，其中在的左侧，：：；与轴的正半轴交于点；与一次函数的图象交于、两点，连接，．
求的值；
求二次函数的关系式；
在抛物线上，是否存在点，使得以为圆心的圆与直线和轴都相切若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：，
，
一定是二次根式，
而、和中的被开方数均不能保证大于等于，故不一定是二次根式，
故选：．
直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、教室第列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、辽宁大剧院第排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、东经，北纬，能确定位置，故本选项符合题意．
故选：．
根据坐标的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四人的平均数相等，而乙的方差最小，
选择乙参加比赛，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】
【解析】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，
由题意得：，
故可得，三角形为钝角三角形．
故选：．
设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，，再根据可得出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理难度不大，注意掌握三角形的内角和为
6.【答案】
【解析】解：过点作交于点．
入射角等于反射角，
，
，
两直线平行，内错角相等；
等量代换；
在中，，，
；
在中，．
故选C．
过点作交于点根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数．
本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，，即，
故选：．
由点关于幸福直线的对称点的坐标，可知、的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可．
本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，设与相交于，连接，
由题意得，四边形的面积的面积，
四边形的面积不变，开始时的面积由小到大再变小再变大，
四边形的面积是先增大后减小，
故选：．
如图，设与相交于，连接，由题意得，四边形的面积的面积，根据四边形面积的变化情形即可判断．
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
9.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故选：．
连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以正确，符合题意；
时，，
即，
，
，
，
，所以错误，不符合题意；
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
，所以正确，符合题意；
当时，，
即，
，所以正确，符合题意．
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
11.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形的稳定性这一特点，杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题．
【解答】
解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性．
12.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据多项式乘多项式法则计算，再对比原多项式即可求解．
本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，连接，
，
故答案为：．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知：．
在中，，
，
．
故答案为：．
根据的正弦函数和的长度求的长，再加上即可．
本题考查锐角三角函数的应用，属于理论联系实际的题目，难度不大，关键是根据三角函数值得到所求线段的相应的线段的长度．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
按逆时针方向作矩形的相似矩形，
矩形的边长和矩形的边长的比为，
矩形的面积和矩形的面积的比：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律．
16.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后见的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式，把所求式子化简．
17.【答案】证明：，，
，，，
，，
在与中，，
≌．
【解析】根据角的和差和三角形的内角和得到，，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：共有张卡片，
从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
解：根据题意画图如下：
共有种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】；；；
万人，
答：请估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人，行人可以闯红灯”观点的人数大约共有万人．
【解析】【分析】
本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
根据扇形统计图和统计表中的数据计算即可得到结论；
用扇形所占的百分数即可得到结论；
根据题意列式计算即可．
【解答】
解：本次接受调查的市民共有人；；；
故答案为：，，；
扇形统计图中，扇形的圆心角度数是；
故答案为：
见答案．
20.【答案】解：设第一次每支铅笔进价为元，
根据题意列方程得，，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为元．
设售价为元，第一次每支铅笔的进价为元，则第二次每支铅笔的进价为元，
根据题意列不等式为：，
解得．
答：每支售价至少是元．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验．
设第一次每支铅笔进价为元，则第二次每支铅笔进价为元，根据题意可列出分式方程解答；
设售价为元，根据“两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于元”列出不等式，然后解答即可．
21.【答案】或
【解析】解：Ⅰ将点，代入反比例函数中，
得，，
反比例函数的解析式为，，
再将点、代入一次函数得，
解得，
一次函数的解析式为；
Ⅱ观察图象，不等式的解集为或，
故答案为：或；
，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限随的增大而增大，
而，
点在第四象限，、点在第二象限，
．
即．
故答案为：．
Ⅰ先将点，代入反比例函数中求出、的值，再将点、代入一次函数得到一次函数解析式，再根据解析式作图即可；
Ⅱ观察图象，即可求得不等式的解集；
根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，再根据即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质，数形结合是解答此题的关键．
22.【答案】； ；
结论：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
，，
．
的长度为或．
【解析】解如图中，设交于．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
故答案为，．
见答案；
如图中，当点在上时，
由可知：，
，
，
，
，
，
如图中，当点在的延长线上时，
，
，，
，
故答案为：或．
【分析】
只要证明≌，可得，再利用“字型”字母即可解决问题；
结论：，只要证明≌，即可解决问题；
分两种情形分别求解即可；
本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
设点、的坐标分别为：、，
则，
解得：，
则点、的坐标分别为：、，
则抛物线的表达式为：，
如下图，由直线的表达式知，，
过点作于点，
，
故设，则，
则，
则，
则，
则，
过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，
则为等腰直角三角形，
则，
则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
即；
由知，抛物线的表达式为：；
则抛物线的表达式为：；
存在，理由：
当点在轴右侧时，如下图，
当以为圆心的圆与直线和轴都相切，
则点为的角平分线和抛物线的交点，
由直线的表达式知，，
而直线和轴的夹角为，
如上图，设为等腰直角三角形，，则，
设，则，
则，
则直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或；
当点在轴左侧时，
则点所在的直线和垂直，
故直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或；
故点横坐标为．
【解析】用解直角三角形的方法求出，即可求解；
由知，即求解；
当点在轴右侧时，求出直线的表达式，即可求解；当点在轴左侧时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的图象和性质、圆和直线的位置关系等，有一定的综合性，难度适中．
第1页，共1页
